Arithmétique dans ℤ (2 Bac Sciences Maths) : cours et méthodes

L'arithmétique est l'un des chapitres emblématiques du 2 Bac Sciences Maths : absent des filières PC et SVT, il demande moins de calcul que de raisonnement rigoureux. C'est aussi l'un des plus rentables aux concours, car les questions y sont très codifiées. Voici l'essentiel, avec les théorèmes clés et la façon de les utiliser.

Divisibilité et division euclidienne

On dit qu'un entier a divise un entier b (noté a | b) s'il existe un entier k tel que b = k·a. La division euclidienne, elle, est le socle de tout le chapitre : pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple (q, r) tel que a = b·q + r, avec 0 ≤ r < |b|. Le nombre q est le quotient, r le reste. Retenez l'unicité : c'est elle qui rend les raisonnements possibles.

PGCD et algorithme d'Euclide

Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Pour le calculer sans factoriser, on utilise l'algorithme d'Euclide, fondé sur une propriété simple : PGCD(a, b) = PGCD(b, r), où r est le reste de la division de a par b. On répète jusqu'à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.

• Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1.
• PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = |a·b| : la relation qui lie les deux.
• Si d = PGCD(a, b), alors a = d·a′ et b = d·b′ avec a′ et b′ premiers entre eux.

Les deux théorèmes à connaître par cœur

Le théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers u et v tels que a·u + b·v = 1. C'est l'outil pour prouver que deux nombres sont premiers entre eux, ou pour résoudre des équations du type a·x + b·y = c (équations diophantiennes).

Le théorème de Gauss : si a divise b·c et si a est premier avec b, alors a divise c. C'est LE théorème qui permet de « simplifier » une divisibilité — mais attention, la condition « premier avec b » est indispensable, et c'est l'oubli le plus fréquent.

Nombres premiers et congruences

Un nombre premier n'a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. Les congruences, elles, offrent un langage très puissant : a ≡ b (mod n) signifie que n divise (a − b). On peut additionner, multiplier et élever à une puissance des congruences de même module, ce qui simplifie énormément les calculs sur les restes.

Exemple entièrement résolu

Déterminons le PGCD de 252 et 105, puis un couple de Bézout. On applique Euclide : 252 = 2×105 + 42, puis 105 = 2×42 + 21, puis 42 = 2×21 + 0. Le dernier reste non nul est 21 : donc PGCD(252, 105) = 21.

Pour Bézout, on « remonte » l'algorithme. De la deuxième ligne : 21 = 105 − 2×42. Or 42 = 252 − 2×105, donc 21 = 105 − 2×(252 − 2×105) = 5×105 − 2×252. On a donc trouvé le couple : 252×(−2) + 105×5 = 21. Cette technique de remontée est une question type à part entière.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : montrez que pour tout entier n, les nombres 2n+1 et 3n+1 sont premiers entre eux. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. L'idée est d'exhiber une combinaison de Bézout égale à 1. On calcule 3×(2n+1) − 2×(3n+1) = 6n+3 − 6n−2 = 1. On a donc trouvé des entiers u = 3 et v = −2 (dépendant des expressions) tels que (2n+1)×3 + (3n+1)×(−2) = 1. D'après le théorème de Bézout, 2n+1 et 3n+1 sont premiers entre eux, et ce pour tout entier n. Retenez ce réflexe : pour prouver « premiers entre eux », cherchez toujours une combinaison qui vaut 1.

Les questions types au Bac

• Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide, puis remonter pour un couple de Bézout.
• Prouver que deux entiers sont premiers entre eux (chercher une combinaison égale à 1).
• Résoudre une équation diophantienne a·x + b·y = c.
• Utiliser les congruences pour déterminer le reste d'une puissance (par exemple le reste de 2^100 modulo 7).
• Appliquer le théorème de Gauss pour établir une divisibilité.

L'arithmétique récompense la rigueur : chaque théorème a ses conditions d'application, qu'il faut citer explicitement. Pour vous entraîner avec des exercices corrigés et un suivi adapté au programme Sciences Maths, réservez un cours, à Fès ou en ligne.