Structures algébriques (2 Bac Sciences Maths) : groupes, anneaux, corps

Les structures algébriques font peur à beaucoup d'élèves de Sciences Maths, parce qu'elles sont abstraites. Pourtant, tout se ramène à une méthode : vérifier une liste de propriétés, dans l'ordre. Une fois cette discipline acquise, le chapitre devient très mécanique. Voici les définitions et les réflexes à avoir.

Loi de composition interne

Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble E est une opération qui, à deux éléments de E, associe un élément de E. La condition clé est la stabilité : le résultat doit rester dans E. Par exemple, l'addition est une LCI sur ℕ, mais la soustraction n'en est pas une (2 − 5 = −3 sort de ℕ). Vérifier la stabilité est toujours la première étape.

Les propriétés d'une loi

Une loi ∗ sur E peut posséder plusieurs propriétés, qu'il faut savoir tester une à une :

• Associativité : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) pour tous a, b, c.
• Commutativité : a ∗ b = b ∗ a pour tous a, b.
• Élément neutre e : a ∗ e = e ∗ a = a pour tout a.
• Symétrique de a : un élément a′ tel que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.

Groupe et sous-groupe

Un ensemble G muni d'une loi ∗ est un groupe lorsque : la loi est interne, associative, possède un élément neutre, et tout élément admet un symétrique. Si en plus la loi est commutative, le groupe est dit abélien (ou commutatif). Exemples fondamentaux : (ℤ, +), (ℝ, +) et (ℝ*, ×) sont des groupes abéliens.

Pour montrer qu'une partie H de G est un sous-groupe, on n'a pas besoin de tout revérifier. Il suffit de trois conditions : H contient l'élément neutre (donc H n'est pas vide), H est stable par la loi, et H est stable par passage au symétrique. En pratique, on regroupe souvent les deux dernières en une seule : pour tous x, y de H, x ∗ y′ appartient à H.

Anneau et corps

On monte d'un cran en considérant deux lois. Un anneau (A, +, ×) est un ensemble tel que (A, +) est un groupe abélien, la loi × est associative et distributive par rapport à +. Si × admet un élément neutre, l'anneau est dit unitaire ; si × est commutative, l'anneau est commutatif. Enfin, un corps est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour ×. (ℝ, +, ×) et (ℂ, +, ×) sont des corps ; (ℤ, +, ×) est un anneau mais pas un corps (2 n'a pas d'inverse entier).

Exemple entièrement résolu

Montrons que l'ensemble 2ℤ des entiers pairs, muni de l'addition, est un sous-groupe de (ℤ, +). On vérifie les trois conditions. D'abord, 0 = 2×0 est pair, donc 0 ∈ 2ℤ : l'ensemble contient le neutre et n'est pas vide.

Ensuite, soient x et y deux éléments de 2ℤ : x = 2k et y = 2k′. Alors x − y = 2k − 2k′ = 2(k − k′), qui est bien pair, donc x − y ∈ 2ℤ. La stabilité par soustraction (qui combine stabilité par addition et par symétrique) est vérifiée. Les trois conditions étant remplies, 2ℤ est un sous-groupe de (ℤ, +). Remarquez l'efficacité du critère : une seule ligne de calcul suffit.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : sur ℝ, on définit la loi a ∗ b = a + b − 3. Montrez que (ℝ, ∗) est un groupe abélien. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. La loi est interne (une somme de réels est un réel). Elle est commutative car a + b − 3 = b + a − 3. Pour l'associativité : (a ∗ b) ∗ c = (a+b−3) + c − 3 = a+b+c−6, et a ∗ (b ∗ c) = a + (b+c−3) − 3 = a+b+c−6 : c'est bien égal. L'élément neutre e vérifie a ∗ e = a, soit a + e − 3 = a, donc e = 3. Enfin, le symétrique a′ de a vérifie a ∗ a′ = 3, soit a + a′ − 3 = 3, donc a′ = 6 − a, qui existe pour tout réel. Les quatre propriétés étant vérifiées, (ℝ, ∗) est un groupe abélien. Notez la démarche : on suit la liste, dans l'ordre, sans en sauter une.

Les questions types au Bac

• Montrer qu'une loi définie par une formule fait de E un groupe (vérifier les 4 propriétés).
• Déterminer l'élément neutre et le symétrique d'un élément pour une loi donnée.
• Prouver qu'une partie H est un sous-groupe avec le critère en trois conditions.
• Reconnaître si une structure est un anneau ou un corps.

Le secret de ce chapitre est la méthode : une structure se prouve en vérifiant une liste, jamais au feeling. Pour vous entraîner avec des corrigés détaillés adaptés au programme Sciences Maths, réservez un cours, à Fès ou en ligne.