Espaces vectoriels (2 Bac Sciences Maths) : bases et dimension

Les espaces vectoriels sont la porte d'entrée de l'algèbre linéaire, qui vous suivra jusqu'en classes préparatoires et à l'université. Le vocabulaire est nouveau, mais les idées sont géométriques : il s'agit de comprendre comment des vecteurs se combinent. Voici les notions clés, expliquées simplement.

Espace et sous-espace vectoriel

Un espace vectoriel sur ℝ est un ensemble E muni d'une addition et d'une multiplication par un réel (un « scalaire »), vérifiant les règles habituelles du calcul vectoriel. Les exemples de référence sont ℝ², ℝ³, et plus généralement ℝⁿ. En pratique, on travaille surtout avec des sous-espaces.

Une partie F de E est un sous-espace vectoriel (SEV) si elle vérifie trois conditions : F contient le vecteur nul (donc F n'est pas vide), F est stable par addition, et F est stable par multiplication par un scalaire. On regroupe souvent les deux dernières : pour tous vecteurs u, v de F et tous réels α, β, le vecteur α·u + β·v appartient à F. C'est le critère à appliquer systématiquement.

Combinaison linéaire et famille génératrice

Une combinaison linéaire des vecteurs v₁, …, vₚ est un vecteur de la forme α₁·v₁ + … + αₚ·vₚ, où les αᵢ sont des réels. Une famille (v₁, …, vₚ) est génératrice de E si tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs — autrement dit, ils suffisent à « fabriquer » tout l'espace.

Famille libre, famille liée

C'est la notion la plus importante — et la plus mal comprise. Une famille (v₁, …, vₚ) est libre si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls : α₁·v₁ + … + αₚ·vₚ = 0 entraîne α₁ = … = αₚ = 0. Dans le cas contraire, la famille est liée, ce qui signifie qu'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres — il est « redondant ».

• Deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires.
• Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
• Une famille libre ne contient aucune redondance : on ne peut en retirer aucun vecteur sans perdre de l'information.

Base et dimension

Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice. C'est la notion centrale : dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de base — ces coefficients sont les coordonnées. Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs : ce nombre est la dimension. Ainsi ℝ² est de dimension 2, ℝ³ de dimension 3.

Exemple entièrement résolu

Dans ℝ³, la famille formée de u = (1, 0, 1) et v = (0, 1, 1) est-elle libre ? On cherche les réels α, β tels que α·u + β·v = 0, c'est-à-dire (α, β, α+β) = (0, 0, 0).

Cela donne le système : α = 0, β = 0, et α + β = 0. Les deux premières équations imposent déjà α = 0 et β = 0 (la troisième est alors automatiquement satisfaite). La seule solution est donc la solution nulle : la famille (u, v) est libre. Comme elle n'a que 2 vecteurs, elle ne peut pas être génératrice de ℝ³ (qui est de dimension 3) : elle engendre un plan vectoriel, dont elle constitue une base.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : dans ℝ², la famille formée de u = (1, 2) et v = (3, 6) est-elle libre ou liée ? Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. On observe que v = (3, 6) = 3·(1, 2) = 3·u : le vecteur v est un multiple de u, donc les deux vecteurs sont colinéaires. La famille est donc liée. On peut le confirmer par la définition : 3·u − v = 0 est une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls (3 et −1). Retenez le raccourci : dans le plan, deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires, ce qui se lit à l'œil quand les coordonnées sont proportionnelles.

Les questions types au Bac

• Montrer qu'une partie F est un sous-espace vectoriel (critère α·u + β·v ∈ F).
• Déterminer si une famille de vecteurs est libre ou liée (résoudre le système de la combinaison nulle).
• Montrer qu'une famille est une base et donner la dimension du sous-espace.
• Exprimer un vecteur dans une base et lire ses coordonnées.

Les espaces vectoriels demandent surtout de la rigueur dans la manipulation des combinaisons linéaires. Une fois le réflexe « je pose la combinaison nulle et je résous » acquis, les exercices se ressemblent tous. Pour vous entraîner avec un suivi adapté au programme Sciences Maths, réservez un cours, à Fès ou en ligne.