Comment étudier une fonction étape par étape (méthode complète)

L'étude de fonction est l'exercice roi du Bac de mathématiques : il revient chaque année et pèse lourd dans la note. La bonne nouvelle, c'est qu'il suit toujours le même plan. Si vous appliquez ce plan mécaniquement, vous ne perdez plus de temps et vous n'oubliez plus d'étape. Voici la méthode en 7 étapes que je fais travailler à mes élèves, suivie d'un exemple entièrement résolu.

Étape 1 — Le domaine de définition

On ne commence jamais une étude sans déterminer le domaine. C'est la première question du correcteur, et une erreur ici fausse tout le reste. Trois cas déclenchent une contrainte : un dénominateur (qui doit être non nul), une racine carrée (dont l'intérieur doit être positif ou nul), et un logarithme (dont l'argument doit être strictement positif). Écrivez le domaine sous forme d'intervalles, c'est ce qui est attendu.

Étape 2 — Les limites aux bornes du domaine

Calculez les limites à chaque borne du domaine : en ±∞ si le domaine n'est pas borné, et à gauche comme à droite de chaque valeur interdite. Ce sont ces limites qui vont révéler les asymptotes. Ne bâclez pas cette étape : elle vaut souvent plusieurs points à elle seule.

Étape 3 — Asymptotes et branches infinies

C'est l'étape que beaucoup d'élèves traitent mal, alors qu'elle est très codifiée. Voici comment interpréter chaque limite :

• Si f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a, la droite verticale x = a est une asymptote verticale.
• Si f(x) tend vers un nombre fini ℓ quand x tend vers ±∞, la droite horizontale y = ℓ est une asymptote horizontale.
• Si f(x) tend vers ±∞ en ±∞, il faut étudier f(x)/x. Si ce rapport tend vers un réel a non nul, puis si f(x) − ax tend vers un réel b, alors la droite y = ax + b est une asymptote oblique.
• Si f(x)/x tend vers ±∞, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. Si f(x)/x tend vers 0, la branche parabolique est de direction l'axe des abscisses.

Étape 4 — Parité et périodicité

Cette étape est facultative, mais quand elle s'applique, elle divise le travail par deux. Si f(−x) = f(x), la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si f(−x) = −f(x), elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Dans les deux cas, on n'étudie que la moitié du domaine, puis on complète le tracé par symétrie.

Étape 5 — La dérivée et le tableau de variations

Calculez f′(x), puis — c'est le point crucial — factorisez-la. Une dérivée factorisée livre son signe immédiatement ; une dérivée développée vous fait perdre dix minutes. Le signe de f′ donne le sens de variation : f′ positive signifie f croissante, f′ négative signifie f décroissante. Un extremum apparaît là où f′ s'annule en changeant de signe. Reportez tout dans un tableau de variations propre, avec les limites aux bornes.

Étape 6 — La convexité avec la dérivée seconde

Calculez f″(x) et étudiez son signe. Si f″ est positive, la courbe est convexe (creux vers le haut) ; si f″ est négative, elle est concave. Un point d'inflexion se situe là où f″ change de signe : c'est là que la courbe change de courbure. Cette étape est souvent demandée explicitement au Bac.

Étape 7 — Points particuliers et tracé

Avant de tracer, placez vos repères : les intersections avec l'axe des abscisses (résolvez f(x) = 0), l'ordonnée à l'origine f(0), les extremums trouvés à l'étape 5, et éventuellement une ou deux tangentes remarquables (rappel : la tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a)). Tracez d'abord les asymptotes en pointillés, placez les points, puis reliez en respectant scrupuleusement les variations et la convexité.

Exemple entièrement résolu : f(x) = x³ − 3x

Appliquons la méthode. Le domaine est ℝ tout entier (pas de dénominateur, pas de racine, pas de logarithme). Les limites : en −∞, f tend vers −∞ ; en +∞, f tend vers +∞. Comme f(x)/x = x² − 3 tend vers +∞, il n'y a pas d'asymptote oblique mais une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

La fonction est impaire, car f(−x) = −x³ + 3x = −f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l'origine. La dérivée vaut f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), factorisée immédiatement. Elle s'annule en −1 et en 1. Le signe se lit directement : f′ est positive sur ]−∞, −1[, négative sur ]−1, 1[, positive sur ]1, +∞[. On en déduit un maximum local en x = −1 avec f(−1) = 2, et un minimum local en x = 1 avec f(1) = −2.

La dérivée seconde vaut f″(x) = 6x : elle change de signe en 0. La courbe est donc concave sur ]−∞, 0[ et convexe sur ]0, +∞[, avec un point d'inflexion à l'origine (0, 0). Enfin, les intersections avec l'axe des abscisses se trouvent en résolvant x³ − 3x = 0, soit x(x² − 3) = 0 : les zéros sont −√3, 0 et √3. Il ne reste plus qu'à placer ces points et à relier.

Les erreurs fréquentes

• Oublier le domaine de définition, ou l'écrire sans justification.
• Ne pas factoriser f′ et se tromper ensuite dans l'étude du signe.
• Confondre asymptote oblique et branche parabolique quand f(x)/x tend vers l'infini.
• Dresser un tableau de variations sans y reporter les limites aux bornes.
• Tracer une courbe qui contredit le tableau de variations qu'on vient d'écrire.

Une étude de fonction bien conduite est presque un exercice de rédaction : le plan est connu d'avance, il suffit de l'appliquer avec rigueur. Pour vous entraîner sur des sujets d'annales avec un corrigé détaillé et un suivi personnalisé, réservez un cours — à Fès ou en ligne.