Limites et continuité (2 Bac) : résumé de cours et méthodes

Le chapitre des limites ouvre le programme d'analyse du 2 Bac, et presque tout le reste en dépend : dérivation, étude de fonctions, primitives. Voici un résumé clair de l'essentiel — les formes indéterminées, les méthodes pour les lever, et la notion de continuité — avec les réflexes que je transmets à mes élèves à Fès et en ligne.

Reconnaître une forme indéterminée

Face à une limite, le premier réflexe est de remplacer directement. Si le calcul aboutit à une valeur, c'est terminé. Sinon, vous tombez sur une forme indéterminée (F.I.) : c'est un signal, pas une réponse. Les quatre formes de base à connaître sont :

• l'infini sur l'infini (∞/∞), typique des quotients de polynômes ;
• le zéro sur zéro (0/0), fréquent avec les taux d'accroissement et la trigonométrie ;
• l'infini moins l'infini (∞ − ∞), souvent avec des racines carrées ;
• le zéro fois l'infini (0 × ∞), qu'on transforme en quotient.

Les méthodes pour lever l'indétermination

À chaque forme sa technique. Pour ∞/∞ dans un quotient de polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré : la limite ne dépend que des degrés dominants. Pour 0/0, on factorise puis on simplifie, ou on utilise la quantité conjuguée quand il y a une racine. Pour ∞ − ∞ avec des racines, on multiplie par la conjuguée. Pour 0 × ∞, on réécrit le produit sous forme de fraction pour retomber sur 0/0 ou ∞/∞.

Certaines limites usuelles doivent être connues par cœur : sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0, (eˣ − 1)/x tend vers 1, ln(1+x)/x tend vers 1, et ln(x)/x tend vers 0 en +∞. Elles reviennent constamment au Bac.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction est continue en un point a si sa limite en a existe et vaut f(a) — autrement dit, on peut tracer la courbe sans lever le crayon. La continuité sur un intervalle ouvre la porte au théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a, b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution entre a et b. C'est l'outil de référence pour prouver qu'une équation a une solution.

Un exemple type

Calculons la limite en +∞ de (2x² + 3x − 1)/(x² − 4). On factorise haut et bas par x² : il reste (2 + 3/x − 1/x²)/(1 − 4/x²). Quand x tend vers +∞, tous les termes en 1/x s'annulent, et la limite vaut 2. La règle rapide : pour un quotient de polynômes de même degré, la limite est le rapport des coefficients dominants.

Un second exemple : lever une forme ∞ − ∞

Calculons la limite en +∞ de √(x² + x) − x. En remplaçant directement, on obtient « ∞ − ∞ » : c'est une forme indéterminée. Dès qu'une racine carrée apparaît dans une soustraction, le réflexe est la quantité conjuguée.

On multiplie et on divise par le conjugué √(x² + x) + x. Au numérateur, on utilise l'identité (a − b)(a + b) = a² − b², ce qui donne (x² + x) − x² = x. L'expression devient donc x / (√(x² + x) + x). On a transformé une forme ∞ − ∞ en une forme ∞/∞, que l'on sait traiter.

On factorise alors par x. Au dénominateur, pour x > 0, √(x² + x) = x·√(1 + 1/x). L'expression se simplifie en 1 / (√(1 + 1/x) + 1). Quand x tend vers +∞, le terme 1/x tend vers 0, et il reste 1/(√1 + 1) = 1/2. La limite vaut donc 1/2 — un résultat qui surprend souvent, car on aurait pu croire naïvement que la différence tendait vers 0 ou vers l'infini.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : calculez la limite en +∞ de (3x³ + 2x)/(x³ − x + 1), puis la limite en 0 de sin(5x)/x. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour la première, il s'agit d'un quotient de polynômes de même degré (3 et 3) : la limite est le rapport des coefficients dominants, soit 3/1 = 3. Pour la seconde, on veut se ramener à la limite usuelle sin(u)/u → 1. On écrit sin(5x)/x = 5 · sin(5x)/(5x). En posant u = 5x, qui tend vers 0 quand x tend vers 0, le facteur sin(5x)/(5x) tend vers 1. La limite vaut donc 5. Retenez ce réflexe : on ajuste le dénominateur pour qu'il soit identique à l'argument du sinus, en compensant par le facteur adéquat.

Les questions types au Bac

Ce chapitre revient sous des formes très prévisibles :

• Calculer une limite de quotient de polynômes en ±∞ (comparer les degrés).
• Lever une forme ∞ − ∞ contenant une racine par la quantité conjuguée.
• Utiliser une limite usuelle (sin x/x, (eˣ − 1)/x, ln(1 + x)/x) après ajustement du facteur.
• Déduire d'une limite l'existence d'une asymptote verticale ou horizontale.
• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'une équation f(x) = 0 admet une solution.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Conclure « forme indéterminée » et s'arrêter là, au lieu d'appliquer une méthode.
• Oublier de préciser le domaine avant d'étudier une limite.
• Confondre la limite à gauche et à droite pour une limite infinie en un point.
• Mal gérer les signes en +∞ et en −∞.

Ce chapitre se maîtrise surtout par la pratique : plus vous voyez de limites, plus vous reconnaissez la bonne méthode instantanément. Mes élèves disposent d'une fiche de révision complète et d'exercices corrigés dans l'espace élèves. Pour un accompagnement personnalisé, à Fès ou en ligne, contactez-moi.