Dérivation et étude de fonctions (2 Bac) : le résumé complet

La dérivation est le cœur de l'analyse au 2 Bac : c'est elle qui permet d'étudier le sens de variation d'une fonction et de tracer sa courbe. Voici un résumé structuré des notions et formules à maîtriser absolument.

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux d'accroissement de f entre a et a+h quand h tend vers 0. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est y = f′(a)(x − a) + f(a). Réflexe utile : la tangente est horizontale exactement là où f′(a) = 0.

Les dérivées usuelles à connaître

• (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, et en particulier (x²)′ = 2x ;
• (√x)′ = 1/(2√x) et (1/x)′ = −1/x² ;
• (sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x ;
• (eˣ)′ = eˣ et (ln x)′ = 1/x.

Opérations et fonctions composées

Au-delà des dérivées usuelles, il faut maîtriser les règles de calcul : la dérivée d'un produit (uv)′ = u′v + uv′, celle d'un quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², et surtout la dérivée d'une composée. Les formes composées reviennent partout : (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹, (eᵘ)′ = u′·eᵘ, et (ln u)′ = u′/u. Bien identifier u et u′ est la clé.

Du signe de la dérivée au tableau de variations

C'est ici que la dérivée devient utile : si f′ est positive sur un intervalle, f est croissante ; si f′ est négative, f est décroissante. Un extremum (maximum ou minimum) apparaît là où la dérivée change de signe. La méthode gagnante consiste à factoriser f′ pour lire facilement son signe, puis à dresser le tableau de variations.

La convexité avec la dérivée seconde

La dérivée seconde f″ renseigne sur la convexité : si f″ est positive, la courbe est convexe (tournée vers le haut) ; si f″ est négative, elle est concave. Un point d'inflexion se trouve là où f″ change de signe. Par exemple, pour f(x) = x³, on a f″(x) = 6x, qui change de signe en 0 : la courbe présente un point d'inflexion à l'origine.

Exemple entièrement résolu

Soit f(x) = (x² − 3x)/(x − 1). Calculons sa dérivée, puis l'équation de la tangente au point d'abscisse 0. C'est un exercice type qui combine quotient et tangente.

Le domaine est ℝ privé de 1. On applique la formule du quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², avec u = x² − 3x (donc u′ = 2x − 3) et v = x − 1 (donc v′ = 1). On obtient f′(x) = ((2x − 3)(x − 1) − (x² − 3x)·1)/(x − 1)².

Développons le numérateur avec soin, c'est là que se perdent les points : (2x − 3)(x − 1) = 2x² − 2x − 3x + 3 = 2x² − 5x + 3. On retire ensuite (x² − 3x), ce qui donne 2x² − 5x + 3 − x² + 3x = x² − 2x + 3. Attention au signe moins qui se distribue sur tout le second terme. La dérivée est donc f′(x) = (x² − 2x + 3)/(x − 1)².

Pour la tangente en 0 : f(0) = 0/(−1) = 0, et f′(0) = 3/1 = 3. La tangente a pour équation y = f′(0)(x − 0) + f(0), soit y = 3x. Remarque intéressante : le numérateur x² − 2x + 3 a un discriminant Δ = 4 − 12 = −8, négatif. Il est donc toujours strictement positif, tout comme (x − 1)². La dérivée est donc positive partout : la fonction est croissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : dérivez g(x) = (2x + 1)³, puis h(x) = ln(x² + 1) · x. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour g, on applique la formule de la composée (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹ avec u = 2x + 1 et u′ = 2. On obtient g′(x) = 3 · 2 · (2x + 1)² = 6(2x + 1)². L'erreur classique serait d'écrire 3(2x + 1)² en oubliant le facteur u′ = 2. Pour h, c'est un produit : h′(x) = (ln(x² + 1))′ · x + ln(x² + 1) · 1. Comme (ln u)′ = u′/u, on a (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1). D'où h′(x) = 2x²/(x² + 1) + ln(x² + 1).

Les questions types au Bac

La dérivation n'est presque jamais demandée pour elle-même : elle sert d'outil. Les questions types sont :

• Calculer f′ pour un quotient ou un produit, puis la factoriser pour en étudier le signe.
• Dresser le tableau de variations complet, limites aux bornes incluses.
• Déterminer l'équation de la tangente en un point donné : y = f′(a)(x − a) + f(a).
• Montrer qu'une tangente est horizontale (résoudre f′(a) = 0).
• Étudier la convexité avec f″ et déterminer les points d'inflexion.

Les erreurs fréquentes

• Dériver un produit ou un quotient sans appliquer la bonne formule.
• Oublier le facteur u′ dans une dérivée composée (eᵘ, ln u, uⁿ).
• Confondre le rôle de f′ (variations) et de f″ (convexité).
• Ne pas factoriser f′ et se tromper dans l'étude de son signe.

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