Étudier une fonction en Tronc Commun (sans la dérivée) : la méthode

En Tronc Commun, on rencontre pour la première fois l'étude d'une fonction — mais sans la dérivée, qui n'arrive qu'en 1ʳᵉ Bac. Il faut donc établir le sens de variation autrement : par le taux d'accroissement. C'est une méthode très formatrice, car elle fait comprendre ce que « croître » veut vraiment dire. Voici la démarche complète.

Étape 1 — le domaine de définition

Avant tout, on détermine l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe. Deux interdictions à surveiller : on ne divise jamais par zéro (le dénominateur doit être non nul) et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif (l'expression sous la racine doit être positive ou nulle). Par exemple, la fonction f(x) = √(x − 2) n'est définie que pour x ≥ 2.

Étape 2 — la parité

Étudier la parité permet de réduire le travail par symétrie. Si f(−x) = f(x) pour tout x du domaine, la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si f(−x) = −f(x), la fonction est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Attention : cela n'a de sens que si le domaine est lui-même symétrique par rapport à 0.

Étape 3 — le sens de variation par le taux d'accroissement

C'est le cœur de la méthode en Tronc Commun. Pour deux réels distincts x₁ et x₂ d'un intervalle, on calcule le taux d'accroissement T = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁). Si ce taux est toujours positif sur l'intervalle, la fonction y est croissante ; s'il est toujours négatif, elle est décroissante. Toute la difficulté est de calculer et simplifier ce quotient jusqu'à pouvoir en lire le signe.

Les fonctions de référence à connaître

• La fonction x ↦ x² : décroissante sur ]−∞, 0], croissante sur [0, +∞[, paire (courbe : une parabole).
• La fonction x ↦ x³ : croissante sur ℝ, impaire.
• La fonction x ↦ 1/x : décroissante sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, impaire.
• La fonction x ↦ √x : croissante sur [0, +∞[.
• La fonction affine x ↦ ax + b : croissante si a > 0, décroissante si a < 0.

Exemple entièrement résolu

Étudions les variations de f(x) = x² sur ℝ par le taux d'accroissement. Pour x₁ ≠ x₂, on calcule T = (x₂² − x₁²) / (x₂ − x₁). On reconnaît au numérateur l'identité remarquable x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁).

On peut alors simplifier par (x₂ − x₁), qui est non nul : T = x₁ + x₂. Le signe de T est donc celui de x₁ + x₂. Sur l'intervalle [0, +∞[, deux nombres positifs distincts donnent x₁ + x₂ > 0 : la fonction est croissante. Sur ]−∞, 0], on a x₁ + x₂ < 0 : la fonction est décroissante. On retrouve bien la forme en U de la parabole.

Vérifions au passage la parité : f(−x) = (−x)² = x² = f(x). La fonction est paire, ce qui confirme la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : déterminez le domaine de définition de f(x) = √(x − 2), puis étudiez la parité de g(x) = x³ − x. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour le domaine, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : x − 2 ≥ 0, donc x ≥ 2. Le domaine est l'intervalle [2, +∞[. Pour la parité, on calcule g(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −g(x). La fonction g est donc impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine (son domaine, ℝ, est bien symétrique). Le réflexe : toujours calculer g(−x) et le comparer à g(x) et à −g(x).

Les erreurs fréquentes à éviter

• Vouloir utiliser la dérivée : elle n'est pas au programme du Tronc Commun, on raisonne par le taux d'accroissement.
• Oublier de déterminer le domaine avant toute étude.
• Conclure sur la parité sans vérifier que le domaine est symétrique par rapport à 0.
• Se tromper de sens : un taux positif correspond à une fonction croissante.

Cette méthode par le taux d'accroissement prépare directement à la dérivée, qu'on découvrira en 1ʳᵉ Bac : la dérivée n'est rien d'autre que la limite de ce taux. Bien la comprendre maintenant, c'est prendre de l'avance. Pour vous entraîner avec des corrigés détaillés, réservez un cours à Fès ou en ligne.