Tronc Commun · Sciences · Chapitre 11

Généralités sur les fonctions

Une fonction numérique associe à chaque valeur autorisée de la variable une seule valeur : ce chapitre en installe tout le langage. On y apprend à distinguer image et antécédent (calculer f(a) pour l'image, résoudre f(x) = b pour les antécédents), puis à déterminer l'ensemble de définition D_f — dénominateur non nul, radicand positif ou nul — avant toute simplification. Vient ensuite la courbe représentative et les lectures graphiques (signe, zéros, extremums), la notion d'égalité de deux fonctions (même domaine ET mêmes valeurs), et l'étude de la parité, qui commence toujours par vérifier la symétrie du domaine. Le cœur du chapitre est l'étude des variations SANS dérivée, à ce niveau : on la mène par la définition ou par le signe du taux d'accroissement [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁). On applique enfin ces outils aux fonctions de référence — affine, carré ax², inverse k/x — puis aux deux courbes du programme : la parabole du second degré via sa forme canonique a(x − α)² + β (sommet, axe, extremum), et l'hyperbole homographique (ax + b)/(cx + d), réduite à β + γ/(x − α), avec son centre de symétrie et ses asymptotes.

1 · Résumé du cours

Une fonction numérique associe à chaque valeur autorisée de la variable une seule valeur. On apprend ici à déterminer son domaine, à lire et construire sa courbe, à étudier sa parité et ses variations (sans dérivée, uniquement par la définition et le taux d'accroissement), puis à reconnaître paraboles et hyperboles.

1.1 Fonction numérique, image et antécédent

Définition Pour \(D\subset\mathbb{R}\), une fonction numérique \(f\) associe à chaque \(x\in D\) un unique réel \(f(x)\) : \(f:D\to\mathbb{R},\ x\mapsto f(x)\). L'ensemble \(D\) est l'ensemble de définition \(D_f\).

Définition — vocabulaire Si \(f(a)=b\) : \(b\) est l'image de \(a\), et \(a\) est un antécédent de \(b\). Un réel de \(D_f\) a une seule image, mais un réel peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

Exemple. Pour \(f(x)=x^2-3\), \(f(2)=1\) : \(1\) est l'image de \(2\). Ses antécédents résolvent \(x^2-3=1\iff x=\pm2\) : \(1\) a deux antécédents.

Ne pas confondre image et antécédent Pour l'image de \(a\), remplacer \(x\) par \(a\). Pour les antécédents de \(b\), résoudre \(f(x)=b\) dans \(D_f\).

1.2 Ensemble de définition

Définition \(D_f\) est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) a un sens.

Propriété — règles usuelles \[\begin{array}{c|c}\text{Expression}&\text{Condition}\\\hline P(x)\text{ polynôme}&x\in\mathbb{R}\\ \frac{P(x)}{Q(x)}&Q(x)\ne0\\ \sqrt{A(x)}&A(x)\ge0\\ \frac{P(x)}{\sqrt{A(x)}}&A(x)>0\end{array}\] Quand plusieurs difficultés coexistent, toutes les conditions doivent être vraies : on prend leur intersection.

Méthode — déterminer \(D_f\) (1) chaque dénominateur non nul ; (2) chaque radicand \(\ge0\) (ou \(>0\) s'il est au dénominateur) ; (3) résoudre chaque condition ; (4) faire l'intersection et écrire en intervalles.

Exemple. \(g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-9}\) : \(x\ge-2\) et \(x\ne\pm3\). Comme \(-3\notin[-2,+\infty[\), seul \(3\) reste à exclure : \(D_g=[-2,3[\cup]3,+\infty[\).

Deux erreurs fréquentes Dans \(\sqrt{A(x)}\), la valeur \(A(x)=0\) est autorisée ; dans \(\frac1{\sqrt{A(x)}}\), elle est interdite. Et l'on ne simplifie une expression qu'après avoir déterminé son domaine.

1.3 Courbe représentative et égalité de fonctions

Définition — courbe représentative La courbe \(\mathcal C_f\) est l'ensemble des points \(M(x,f(x))\), \(x\in D_f\) : \[\boxed{M(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f\ \text{et}\ b=f(a).}\]

Propriété — lectures graphiques

\(f(a)\) est l'ordonnée du point de \(\mathcal C_f\) d'abscisse \(a\) ;
les antécédents de \(b\) sont les abscisses des intersections avec \(y=b\) ;
\(f(x)>0\) là où \(\mathcal C_f\) est au-dessus de l'axe des abscisses, \(f(x)<0\) au-dessous ;
les zéros de \(f\) sont les intersections avec l'axe des abscisses.

Définition — égalité de fonctions \(f=g\) si, et seulement si, \(D_f=D_g\) et \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\in D_f\). Leurs courbes sont alors confondues.

Exemple. \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) et \(g(x)=x+1\) coïncident pour \(x\ne1\), mais \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\ne\mathbb{R}=D_g\) : \(f\) et \(g\) ne sont pas égales.

Définition — restriction Si \(I\subset D_f\), la restriction de \(f\) à \(I\) garde la même expression avec le domaine limité à \(I\).

1.4 Fonctions paires et fonctions impaires

Première vérification : la symétrie du domaine Avant de calculer \(f(-x)\), vérifier que \(x\in D_f\Rightarrow-x\in D_f\). Sinon, \(f\) n'est ni paire ni impaire.

Définition — paire / impaire \(f\) est paire si \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=f(x)\) : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) : courbe symétrique par rapport à l'origine.

Exemple. \(f(x)=3x^2+5\) est paire ; \(g(x)=x^3-2x\) est impaire ; \(h(x)=x+1\) n'est ni l'une ni l'autre.

Propriété — réduction du domaine d'étude Si \(D_f\) est symétrique, on étudie \(f\) sur \(D_f\cap[0,+\infty[\), puis on complète : symétrie axiale (axe des ordonnées) si \(f\) est paire, symétrie centrale de centre \(O\) si \(f\) est impaire.

1.5 Variations d'une fonction

Définition Sur un intervalle \(I\subset D_f\), \(f\) est croissante si \(x_1décroissante si \(x_1constante si \(f(x_1)=f(x_2)\). Avec \(<\) ou \(>\), on parle de variation stricte ; une fonction croissante ou décroissante est monotone.

Définition — taux d'accroissement Pour \(x_1\ne x_2\) dans \(I\) : \[\tau_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]

Propriété Sur \(I\), si \(\tau_f>0\) pour tous \(x_1\ne x_2\), \(f\) est strictement croissante ; si \(\tau_f<0\), strictement décroissante ; si \(\tau_f=0\), constante. Avec des inégalités larges, on obtient croissance/décroissance au sens large.

Méthode — variations sans dérivée (1) prendre \(x_1

Exemple (fonction carré). \(f(x)=x^2\) : pour \(0\le x_10\) → croissante sur \([0,+\infty[\). Pour \(x_1

Propriété — parité et variations Pour \(I\subset[0,+\infty[\) : si \(f\) est paire, les variations sur \(-I\) sont de sens opposé ; si \(f\) est impaire, de même sens.

Toujours préciser l'intervalle Une réunion de deux intervalles n'est pas un intervalle : \(x\mapsto\frac1x\) est décroissante sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\) séparément, mais pas sur \(\mathbb{R}^*\) entier.

1.6 Maximum et minimum

Définition Pour \(A\subset D_f\) et \(x_0\in A\) : \(f\) a un maximum en \(x_0\) si \(f(x)\le f(x_0)\) pour tout \(x\in A\) ; un minimum si \(f(x)\ge f(x_0)\). La valeur extrême est \(f(x_0)\).

Méthode — prouver un extremum Ne pas lire une valeur sur un dessin : établir une inégalité valable pour tout \(x\) du domaine, ou utiliser des variations déjà démontrées.

Exemple. \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\ge3\), avec égalité en \(x=2\) : minimum \(3\) atteint en \(2\).

1.7 Fonctions de référence

Propriété — fonction affine \(f(x)=mx+p\) Définie sur \(\mathbb{R}\), courbe une droite, taux d'accroissement constant \(=m\). Strictement croissante si \(m>0\), décroissante si \(m<0\), constante si \(m=0\).

Propriété — fonction \(x\mapsto ax^2\ (a\ne0)\) \(D_f=\mathbb{R}\), \(f\) paire, courbe une parabole de sommet \(O\), d'axe l'axe des ordonnées. Si \(a>0\) : décroît puis croît, minimum \(0\) en \(0\). Si \(a<0\) : croît puis décroît, maximum \(0\) en \(0\). \[\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&0&+\infty\\\hline ax^2\ (a>0)&+\infty&\searrow\ 0\ \nearrow&+\infty\\ ax^2\ (a<0)&-\infty&\nearrow\ 0\ \searrow&-\infty\end{array}\]

Propriété — fonction \(x\mapsto\frac kx\ (k\ne0)\) \(D_f=\mathbb{R}^*\), \(f\) impaire, courbe une hyperbole de centre \(O\) dont les axes sont asymptotes. Si \(k>0\) : strictement décroissante sur \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\). Si \(k<0\) : strictement croissante sur chacun.

Démonstration. Pour \(x_1\ne x_2\) du même intervalle, \(\tau_f=\frac{\frac k{x_2}-\frac k{x_1}}{x_2-x_1}=-\frac{k}{x_1x_2}\). Or \(x_1x_2>0\), donc \(\tau_f\) a le signe de \(-k\). ∎

1.8 Fonction polynôme du second degré

Théorème — forme canonique Toute \(f(x)=ax^2+bx+c\ (a\ne0)\) s'écrit \[\boxed{f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta},\quad\alpha=-\frac b{2a},\quad\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}.\]

Démonstration. \(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\), et \(x+\frac b{2a}=x-\alpha\). ∎

Propriété — sommet, axe et variations La courbe de \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) est une parabole de sommet \(S(\alpha,\beta)\), d'axe \(x=\alpha\). Si \(a>0\), tournée vers le haut, \(\beta\) minimum ; si \(a<0\), vers le bas, \(\beta\) maximum. \[\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&\alpha&+\infty\\\hline f\ (a>0)&+\infty&\searrow\ \beta\ \nearrow&+\infty\\ f\ (a<0)&-\infty&\nearrow\ \beta\ \searrow&-\infty\end{array}\]

Méthode — construire une parabole (1) forme canonique, placer \(S(\alpha,\beta)\) ; (2) tracer l'axe \(x=\alpha\) ; (3) calculer quelques points d'un côté ; (4) construire leurs symétriques et tracer.

1.9 Fonctions homographiques

Définition \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), avec \(c\ne0\) et \(\Delta=ad-bc\ne0\). Elle est homographique et \[\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac dc\right\}.}\] La condition \(\Delta\ne0\) exclut le cas d'un quotient constant.

Propriété — forme réduite En posant \(\alpha=-\frac dc\), \(\beta=\frac ac\), \(\gamma=-\frac{\Delta}{c^2}\), \[\boxed{f(x)=\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}}.\] La courbe est une hyperbole de centre de symétrie \(S(\alpha,\beta)\), avec asymptote verticale \(x=\alpha\) et horizontale \(y=\beta\).

Démonstration. \(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2(x+\frac dc)}=\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}\). ∎

Propriété — variations Sur chacun des intervalles \(]-\infty,-\frac dc[\) et \(]-\frac dc,+\infty[\) : si \(\Delta>0\), \(f\) est strictement croissante ; si \(\Delta<0\), strictement décroissante. En effet \(\tau_f=\frac{\Delta}{(cx_1+d)(cx_2+d)}\), et le dénominateur est \(>0\) sur chaque intervalle.

Exemple. \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\), \(f(x)=1-\frac3{x+2}\), centre \(S(-2,1)\), asymptotes \(x=-2\), \(y=1\). \(\Delta=1\cdot2-(-1)\cdot1=3>0\) → strictement croissante sur chaque intervalle.

Méthode — étudier une homographique (1) \(D_f\) en annulant le dénominateur ; (2) \(\Delta=ad-bc\) et variations ; (3) forme \(\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}\) ; (4) placer \(S(\alpha,\beta)\) et les asymptotes ; (5) quelques points sur une branche, l'autre par symétrie centrale de centre \(S\).

1.10 Position relative et résolution graphique

Propriété — comparer deux courbes Sur \(I\) : \(\mathcal C_f\) est au-dessus de \(\mathcal C_g\) quand \(f(x)\ge g(x)\), au-dessous quand \(f(x)\le g(x)\) ; les intersections résolvent \(f(x)=g(x)\). Algébriquement, on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\).

Propriété — équations et inéquations graphiques Les solutions de \(f(x)=m\) sont les abscisses des intersections de \(\mathcal C_f\) avec \(y=m\) ; celles de \(f(x)\ge m\) (resp. \(\le m\)) les portions au-dessus (resp. au-dessous) de \(y=m\). Bornes incluses pour \(\le,\ge\), exclues pour \(<,>\).

Définition — fonction périodique \(f\) est périodique de période \(T>0\) si son domaine est stable par translation de \(T\) et \(f(x+T)=f(x)\). On l'étudie sur un intervalle de longueur \(T\), puis on répète par les translations \(kT\,\vec\imath\), \(k\in\mathbb{Z}\).

1.11 Méthode de synthèse : étude complète

Méthode — étudier puis représenter une fonction

déterminer précisément \(D_f\) ;
calculer les images / antécédents demandés ;
vérifier la parité et réduire le domaine d'étude ;
étudier les variations (définition ou taux d'accroissement) ;
déterminer extremums et éléments géométriques ;
dresser tableau de variations et tableau de valeurs ;
tracer en respectant domaine, symétries et variations.

L'essentiel du chapitre

\(D_f\) se détermine avant toute simplification (dénominateur \(\ne0\), radicand \(\ge0\)).
\(M(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f\) et \(b=f(a)\).
Deux fonctions égales ont le même domaine et les mêmes valeurs.
Pour la parité, vérifier d'abord la symétrie de \(D_f\), puis calculer \(f(-x)\).
Les variations se démontrent par la définition ou le taux d'accroissement (aucune dérivée en TCS).
La forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) donne sommet, axe et extremum.
Une homographique se réduit à \(\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}\) : centre \(S(\alpha,\beta)\), variations selon le signe de \(\Delta=ad-bc\).

2 · Exercices résolus

Forme canonique

Exercice 1

Soit \(f(x)=x^2-6x+11\). Mettre \(f\) sous forme canonique, en déduire le sommet et le minimum.

Voir la correction

1. Domaine. Expression polynomiale : \(D_f=\mathbb{R}\).

2. Forme canonique. Comme \((x-3)^2=x^2-6x+9\), on a \(x^2-6x=(x-3)^2-9\), donc \[f(x)=(x-3)^2-9+11=(x-3)^2+2,\qquad\boxed{f(x)=(x-3)^2+2}.\] Contrôle : \((x-3)^2+2=x^2-6x+11\) ✓.

3. Sommet et axe. Ici \(a=1,\alpha=3,\beta=2\) : parabole de sommet \(\boxed{S(3,2)}\), axe \(x=3\).

4. Minimum. \((x-3)^2\ge0\Rightarrow f(x)\ge2\), avec égalité pour \(x=3\). Le minimum de \(f\) est \(\boxed{2}\), atteint en \(x=3\) (et \(f(3)=2\)). \(\blacksquare\)

Ensemble de définition

Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-4}}{x-5}\).

Voir la correction

1. Racine carrée. \(2x-4\ge0\iff x\ge2\) (la valeur \(2\) est admise : le numérateur vaut \(0\)).

2. Dénominateur. \(x-5\ne0\iff x\ne5\).

3. Intersection. \(x\ge2\) en excluant \(5\) : \[\boxed{D_f=[2,5[\cup]5,+\infty[.}\]

4. Vérification. \(x<2\) → racine non définie ; \(x=2\) → numérateur \(0\), dénominateur \(-3\), admise ; \(x=5\) → dénominateur \(0\), interdite ; \(x>2,\ x\ne5\) → les deux conditions tiennent. \(\blacksquare\)

QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM