Tronc Commun · Sciences · Chapitre 10

Calcul trigonométrique (2)

Ce deuxième volet met le cercle trigonométrique au service de la résolution : équations et inéquations trigonométriques. On y établit les trois formules-clés — cos x = cos α ⟺ x = 2kπ ± α, sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou π − α + 2kπ, et tan x = tan α ⟺ x = α + kπ — puis la démarche commune : reconnaître un angle remarquable, appliquer la bonne formule, et résoudre les égalités du premier degré obtenues en x. On apprend à traiter les arguments composés (2x, x − π/3…), les équations qui se ramènent à une équation algébrique en posant X = cos x, et surtout à restreindre les solutions à un intervalle donné en encadrant l'entier k. La seconde moitié passe aux inéquations, lues directement sur les arcs du cercle (abscisses pour le cosinus, ordonnées pour le sinus), avec le cas particulier de la tangente qu'il faut découper aux valeurs interdites π/2 + kπ. Le chapitre se clôt sur la loi des sinus a/sin = b/sin B̂ = c/sin Ĉ = 2R, outil de calcul dans un triangle quelconque.

1 · Résumé du cours

La première partie a défini le cercle trigonométrique et les relations entre les lignes trigonométriques. On les utilise ici pour résoudre des équations et des inéquations trigonométriques. Les trois idées essentielles : lire sur le cercle, reconnaître un angle remarquable, et restreindre à l'intervalle demandé.

1.1 Préliminaires indispensables

Propriété — valeurs possibles et périodes Pour tout \(x\) : \(-1\le\cos x\le1\) et \(-1\le\sin x\le1\). La tangente existe pour \(x\ne\frac\pi2+k\pi\). Enfin \(\cos\) et \(\sin\) ont pour période \(2\pi\), \(\tan\) pour période \(\pi\).

Avant de commencer une résolution Vérifier trois points : (1) la valeur est-elle possible ? (\(\cos x=2\) n'a aucune solution) ; (2) l'expression est-elle définie ? (indispensable avec une tangente) ; (3) résout-on dans \(\mathbb{R}\) ou dans un intervalle imposé ?

Méthode — reconnaître un angle de référence Chercher \(\alpha\) tel que \(\cos\alpha=a\) (ou \(\sin\alpha=a\), ou \(\tan\alpha=a\)), puis transformer l'équation en égalité de deux cosinus, deux sinus ou deux tangentes. Les valeurs fréquentes sont celles de \(0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2\).

1.2 Équations de la forme \(\cos x=a\)

Théorème Si \(a<-1\) ou \(a>1\), \(\cos x=a\) n'a pas de solution. Si \(-1\le a\le1\), il existe un unique \(\alpha\in[0,\pi]\) avec \(\cos\alpha=a\), et \[\boxed{\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha,\quad k\in\mathbb{Z}.}\]

Propriété — cas particuliers \[\begin{array}{c|c}\text{Équation}&\text{Solutions dans }\mathbb{R}\\\hline \cos x=0&x=\frac\pi2+k\pi\\ \cos x=1&x=2k\pi\\ \cos x=-1&x=\pi+2k\pi\end{array}\qquad(k\in\mathbb{Z})\]

Exemple. \(\cos x=-\frac12=\cos\frac{2\pi}{3}\), donc \(x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

1.3 Équations de la forme \(\sin x=a\)

Théorème Si \(a<-1\) ou \(a>1\), pas de solution. Si \(-1\le a\le1\), il existe un unique \(\alpha\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\) avec \(\sin\alpha=a\), et \[\boxed{\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}\]

Propriété — cas particuliers \[\begin{array}{c|c}\text{Équation}&\text{Solutions dans }\mathbb{R}\\\hline \sin x=0&x=k\pi\\ \sin x=1&x=\frac\pi2+2k\pi\\ \sin x=-1&x=-\frac\pi2+2k\pi\end{array}\qquad(k\in\mathbb{Z})\]

Exemple. \(\sin x=-\frac12\), angle de référence \(\alpha=-\frac\pi6\) : \(x=-\frac\pi6+2k\pi\) ou \(x=\pi+\frac\pi6+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\).

Ne pas confondre les deux formules Pour le cosinus, les angles partenaires sont \(\alpha\) et \(-\alpha\). Pour le sinus, \(\alpha\) et \(\pi-\alpha\). Un dessin rapide sur le cercle retrouve ces symétries.

1.4 Équations de la forme \(\tan x=a\)

Théorème Pour tout \(a\in\mathbb{R}\), il existe un unique \(\alpha\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\) avec \(\tan\alpha=a\), et \[\boxed{\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}\]

Propriété — domaine de définition Avant de résoudre une équation contenant \(\tan u\), imposer \(u\ne\frac\pi2+k\pi\). Automatique pour \(\tan x=a\), mais à écrire quand l'argument est par exemple \(2x+\frac\pi4\).

Exemple. \(\tan\left(2x+\frac\pi4\right)=-1\) : domaine \(x\ne\frac\pi8+\frac{k\pi}2\) ; comme \(-1=\tan(-\frac\pi4)\), \(2x+\frac\pi4=-\frac\pi4+k\pi\), d'où \(x=-\frac\pi4+\frac{k\pi}2\).

1.5 Équations avec des arguments différents

Propriété — trois formes à connaître Pour \(u,v\) réels (tangentes définies) : \[\begin{array}{rcl}\cos u=\cos v&\iff&u=v+2k\pi\ \text{ ou }\ u=-v+2k\pi,\\ \sin u=\sin v&\iff&u=v+2k\pi\ \text{ ou }\ u=\pi-v+2k\pi,\\ \tan u=\tan v&\iff&u=v+k\pi,\end{array}\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Chaque égalité obtenue est ensuite une équation du premier degré en \(x\).

Méthode — résoudre une équation composée (1) vérifier le domaine si tangente/quotient ; (2) écrire la constante comme ligne trigonométrique d'un angle remarquable ; (3) appliquer la formule \(\cos\)/\(\sin\)/\(\tan\) ; (4) résoudre chaque égalité en \(x\) ; (5) simplifier les familles identiques et restreindre si demandé.

Exemple. \(\cos(2x)=\cos\left(x-\frac\pi3\right)\) donne \(2x=x-\frac\pi3+2k\pi\) ou \(2x=-(x-\frac\pi3)+2k\pi\), d'où \(x=-\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=\frac\pi9+\frac{2k\pi}3\).

1.6 Équations se ramenant à une équation algébrique

Méthode — poser une inconnue auxiliaire (1) poser \(X=\cos x\) (ou \(\sin x\), \(\tan x\)) ; (2) résoudre l'équation algébrique en \(X\) par factorisation ; (3) revenir à \(x\) et résoudre chaque équation trigonométrique ; (4) éliminer toute valeur impossible (ex. \(\cos x=3\)).

Exemple. \(2\cos^2x-3\cos x+1=0=(2\cos x-1)(\cos x-1)\) : \(\cos x=\frac12\) ou \(\cos x=1\), donc \(x=\pm\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=2k\pi\).

1.7 Restreindre les solutions à un intervalle

Méthode — encadrer l'entier relatif Après résolution dans \(\mathbb{R}\), on obtient \(x=x_0+kT\). Pour garder les solutions d'un intervalle \(I\), écrire \(x_0+kT\in I\), encadrer \(k\), et ne conserver que ses valeurs entières.

Exemple. Dans \(]-\pi,\pi]\), \(\cos(2x)=\frac{\sqrt3}2=\cos\frac\pi6\) donne \(x=\frac\pi{12}+k\pi\) ou \(x=-\frac\pi{12}+k\pi\). En encadrant \(k\) : \[S=\left\{-\frac{11\pi}{12},-\frac\pi{12},\frac\pi{12},\frac{11\pi}{12}\right\}.\]

Intervalle ouvert ou fermé Recopier les crochets de l'intervalle dans l'encadrement : \(x\in[0,2\pi[\) signifie \(0\le x<2\pi\), la valeur \(0\) est admise mais \(2\pi\) exclue, même si les deux repèrent le même point.

1.8 Inéquations trigonométriques sur le cercle

Méthode — procédure générale (1) transformer la valeur en valeur remarquable ; (2) placer sur le cercle les points d'égalité ; (3) sélectionner les arcs vérifiant l'inégalité ; (4) lire les abscisses des extrémités ; (5) adapter les crochets à \(<,\le,>,\ge\) ; (6) intersecter avec l'intervalle \(I\). Pour le cosinus on compare les abscisses, pour le sinus les ordonnées.

1.8.1 Inéquations portant sur le cosinus

Propriété — lecture horizontale \(\cos x\) est l'abscisse du point associé à \(x\). La droite verticale \(X=a\) partage le cercle : à droite \(\cos x\ge a\), à gauche \(\cos x\le a\).

Exemple. Dans \(\left]-\frac\pi2,\pi\right]\), \(\cos x\le\frac12\) : l'égalité a lieu en \(x=\pm\frac\pi3\), et la partie à gauche de \(X=\frac12\) donne \[S=\left]-\frac\pi2,-\frac\pi3\right]\cup\left[\frac\pi3,\pi\right].\]

1.8.2 Inéquations portant sur le sinus

Propriété — lecture verticale \(\sin x\) est l'ordonnée du point associé à \(x\). La droite horizontale \(Y=a\) partage le cercle : au-dessus \(\sin x\ge a\), au-dessous \(\sin x\le a\).

Exemple. Dans \([0,2\pi[\), \(\sin x\ge\frac12\) : bornes \(\frac\pi6\) et \(\frac{5\pi}6\), arc au-dessus de \(Y=\frac12\), bornes incluses : \(S=\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right]\).

1.8.3 Inéquations portant sur la tangente

Propriété — travailler entre deux valeurs interdites Sur chaque intervalle \(\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\), la tangente croît de \(-\infty\) à \(+\infty\). Les nombres \(\frac\pi2+k\pi\) sont toujours exclus.

Exemple. Dans \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\), \(\tan x\ge1=\tan\frac\pi4\) : la tangente y étant croissante, \(x\ge\frac\pi4\), donc \(S=\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[\) (\(\frac\pi2\) interdite).

Attention aux discontinuités de la tangente On ne traite pas \(\tan x\) comme si elle était croissante sur tout \(\mathbb{R}\). Il faut découper aux points \(\frac\pi2+k\pi\), résoudre sur chaque morceau, puis réunir.

1.9 Inéquations transformées et tableaux de signes

Méthode — produit ou quotient de facteurs (1) déterminer le domaine ; (2) résoudre les équations qui annulent chaque facteur ; (3) ranger les valeurs critiques dans l'intervalle ; (4) donner le signe de chaque facteur ; (5) dresser un tableau de signes et lire la ligne du produit/quotient. Une valeur qui annule un dénominateur est toujours exclue.

Exemple. Pour le signe de \((2\cos x-1)(\tan x+1)\) sur \([0,\pi]\), on exclut \(\frac\pi2\), les valeurs critiques sont \(\frac\pi3\) (\(2\cos x-1=0\)) et \(\frac{3\pi}4\) (\(\tan x+1=0\)), et on range \(0<\frac\pi3<\frac\pi2<\frac{3\pi}4<\pi\) avant d'étudier les signes (double barre en \(\frac\pi2\)).

Les réflexes qui évitent les erreurs

Jamais de solution si \(|a|>1\) dans \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\).
Ne pas oublier la deuxième famille pour le sinus et le cosinus.
\(k\pi\) pour la tangente, mais \(2k\pi\) pour sinus et cosinus.
Si l'argument est \(2x\) ou \(3x\), diviser toute l'égalité, y compris le \(k\pi\).
Pour un intervalle, vérifier chaque solution dans l'équation initiale.
Bornes incluses avec \(\le\)/\(\ge\), sauf si interdites par le domaine.

1.10 Complément : la loi des sinus

Théorème — loi des sinus Dans un triangle \(ABC\), avec \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) opposés à \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\), et \(R\) le rayon du cercle circonscrit : \[\boxed{\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=\frac{c}{\sin\widehat C}=2R.}\]

Méthode — choisir la bonne égalité Pour un côté inconnu, utiliser deux quotients dont l'un est connu ; pour le rayon, comparer un quotient connu à \(2R\). Toujours associer chaque côté à l'angle qui lui est opposé.

L'essentiel du chapitre

\(\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha\).
\(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\).
\(\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi\) (en respectant le domaine).
Équation composée : appliquer la formule, puis résoudre les égalités en \(x\).
Intervalle imposé : encadrer \(k\) et garder ses valeurs entières.
Une inéquation se lit sur les arcs : abscisses pour \(\cos\), ordonnées pour \(\sin\).
Les points \(\frac\pi2+k\pi\) sont toujours interdits pour la tangente.
Dans un triangle, \(\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=2R\).

2 · Exercices résolus

Équation, intervalle

Exercice 1

Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Voir la correction

1. Valeur possible. \(-1\le\frac{\sqrt2}2\le1\) : l'équation peut avoir des solutions.

2. Angle remarquable. \(\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\), donc l'équation devient \(\sin x=\sin\frac\pi4\).

3. Résolution dans \(\mathbb{R}\). \[x=\frac\pi4+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-\frac\pi4+2k\pi=\frac{3\pi}4+2k\pi.\]

4. Restriction à \([0,2\pi[\). Première famille : \(0\le\frac\pi4+2k\pi<2\pi\iff-\frac18\le k<\frac78\), seul \(k=0\), \(x=\frac\pi4\). Deuxième famille : \(0\le\frac{3\pi}4+2k\pi<2\pi\iff-\frac38\le k<\frac58\), seul \(k=0\), \(x=\frac{3\pi}4\).

5. Conclusion. \(\sin\frac\pi4=\sin\frac{3\pi}4=\frac{\sqrt2}2\), d'où \(\boxed{S=\left\{\frac\pi4,\frac{3\pi}4\right\}}\). \(\blacksquare\)

Loi des sinus

Exercice 2

Dans un triangle \(ABC\), \(a=BC=6\), \(\widehat A=30^{\circ}\) et \(\widehat B=45^{\circ}\). Calculer \(b=AC\) et le rayon \(R\) du cercle circonscrit.

Voir la correction

1. Données. \(a\) est opposé à \(\widehat A\), \(b\) à \(\widehat B\), et \(30^\circ+45^\circ=75^\circ<180^\circ\) : triangle possible. La loi des sinus donne \(\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=2R\).

2. Côté \(b\). \(\frac{6}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin45^\circ}\), donc \[b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{6\times\frac{\sqrt2}2}{\frac12}=6\sqrt2,\qquad\boxed{b=AC=6\sqrt2}.\]

3. Rayon \(R\). \(2R=\frac{6}{\sin30^\circ}=\frac{6}{\frac12}=12\), donc \(\boxed{R=6}\).

4. Contrôle. \(\widehat B>\widehat A\) impose \(b>a\) : \(6\sqrt2>6\) ✓. Et \(\frac{b}{\sin45^\circ}=\frac{6\sqrt2}{\frac{\sqrt2}2}=12=2R\). \(\blacksquare\)

QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM