Tronc Commun · Sciences · Chapitre 9

Calcul trigonométrique (1)

La trigonométrie associe à chaque angle des nombres qui permettent de décrire une direction et une position sur un cercle. Ce premier volet installe tout le vocabulaire : l'orientation du plan (sens direct/indirect), le cercle trigonométrique de rayon 1, et le radian — l'unité naturelle des angles, reliée aux degrés par la seule correspondance à retenir, 180° ↔ π. On apprend à repérer un point par son abscisse curviligne, définie modulo 2π (x + 2kπ), et à en extraire l'abscisse principale dans ]−π, π]. Viennent ensuite les angles orientés de demi-droites puis de vecteurs, avec la relation de Chasles qui permet d'additionner les angles. Le cœur du chapitre définit cos x et sin x comme les coordonnées du point associé à x, la tangente comme leur quotient, et pose les deux identités clés : cos²x + sin²x = 1 et 1 + tan²x = 1/cos²x. On termine par la lecture des signes selon le quadrant, les valeurs exactes des angles remarquables (0, π/6, π/4, π/3, π/2) et les formules des angles associés, toutes retrouvables par symétrie sur le cercle plutôt que par cœur.

1 · Résumé du cours

La trigonométrie associe à tout angle des nombres qui décrivent une direction et une position sur un cercle. Ce chapitre introduit le radian, le cercle trigonométrique, les angles orientés, puis les fonctions \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\). Les équations et inéquations trigonométriques viendront dans la deuxième partie.

1.1 Orientation du plan et cercle trigonométrique

Définition — sens direct et sens indirect Autour d'un cercle, on distingue deux sens de parcours :

le sens direct (positif) est le sens contraire des aiguilles d'une montre ;
le sens indirect (négatif) est celui des aiguilles d'une montre.

Un plan muni de ce choix est un plan orienté.

Définition — cercle trigonométrique C'est le cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), muni d'une origine \(I\) et orienté dans le sens direct. Dans un repère orthonormé direct \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\), on pose \(\overrightarrow{OI}=\vec\imath\) et \(\overrightarrow{OJ}=\vec\jmath\) ; les opposés de \(I\) et \(J\) sont \(I'\) et \(J'\).

Propriété — quatre points de référence \[\begin{array}{c|cccc}\text{Point}&I&J&I'&J'\\\hline \text{Mesure principale}&0&\frac\pi2&\pi&-\frac\pi2\\ \text{Coordonnées}&(1,0)&(0,1)&(-1,0)&(0,-1)\end{array}\]

1.2 Degrés, radians et grades

Définition — le radian Sur un cercle de rayon \(1\), un angle au centre mesure un radian lorsqu'il intercepte un arc de longueur \(1\). Plus généralement, un angle de mesure \(\theta\) radians intercepte sur un cercle de rayon \(R\) un arc de longueur \[\ell=R\,|\theta|.\] Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians coïncide donc, au signe près, avec la longueur de l'arc.

Propriété — conversion des unités Un tour complet vaut \(360^{\circ}=2\pi\ \text{rad}=400\ \text{gr}\), d'où \[\boxed{\dfrac{d}{180}=\dfrac{r}{\pi}=\dfrac{g}{200}},\] où \(d,r,g\) sont les mesures d'un même angle en degrés, radians et grades. \[\begin{array}{c|ccccccc}\text{degrés}&0&30&45&60&90&180&360\\\hline \text{radians}&0&\frac\pi6&\frac\pi4&\frac\pi3&\frac\pi2&\pi&2\pi\\ \text{grades}&0&\frac{100}3&50&\frac{200}3&100&200&400\end{array}\]

Méthode — effectuer une conversion Degrés → radians : multiplier par \(\frac{\pi}{180}\). Radians → degrés : par \(\frac{180}{\pi}\). Degrés → grades : par \(\frac{200}{180}\). Grades → degrés : par \(\frac{180}{200}\). On simplifie toujours la fraction obtenue.

Exemple. \(210^{\circ}=210\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\ \text{rad}\) et \(\frac{3\pi}{5}\ \text{rad}=\frac{3\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=108^{\circ}\).

Le repère à retenir La correspondance \(180^{\circ}\longleftrightarrow\pi\) suffit à retrouver toutes les conversions : \(90^{\circ}\) est la moitié de \(180^{\circ}\), donc \(\frac\pi2\) rad.

1.3 Abscisses curvilignes d'un point

Définition À tout réel \(x\) on associe un unique point \(M\) du cercle : on part de \(I\) et on parcourt une longueur \(|x|\), dans le sens direct si \(x>0\), indirect si \(x<0\). Le réel \(x\) est une abscisse curviligne de \(M\).

Propriété — toutes les abscisses d'un point Deux réels \(x\) et \(x'\) repèrent le même point si, et seulement si, \(x'-x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\). Toutes les abscisses de \(M\) sont donc \[\boxed{x+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})},\] ce qu'on écrit \(x'\equiv x\ [2\pi]\).

Définition — abscisse principale Parmi toutes les abscisses de \(M\), une seule appartient à \(]-\pi,\pi]\) : c'est l'abscisse curviligne principale de \(M\).

Méthode — déterminer l'abscisse principale Chercher \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(-\pi

Exemple. \(\frac{29\pi}{6}-4\pi=\frac{5\pi}{6}\in\;]-\pi,\pi]\) : l'abscisse principale de \(\frac{29\pi}{6}\) est \(\frac{5\pi}{6}\). De même \(-\frac{17\pi}{4}+4\pi=-\frac{\pi}{4}\).

1.4 Angles orientés de deux demi-droites

Définition Pour deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\) de même origine, le couple ordonné définit l'angle orienté \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) de la première vers la seconde. L'ordre est essentiel : l'inverser inverse le sens.

Propriété — mesures d'un angle orienté Si \(\alpha,\beta\) sont des abscisses des points où les demi-droites coupent le cercle, toutes les mesures sont \[\boxed{\beta-\alpha+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})},\qquad (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\beta-\alpha\ [2\pi].\] L'unique valeur dans \(]-\pi,\pi]\) est la mesure principale.

Propriété — angles particuliers (modulo \(2\pi\)) \[\begin{array}{c|c}\text{Angle}&\text{Mesure}\\\hline \text{nul}&0\\ \text{plat}&\pi\\ \text{droit direct}&\frac\pi2\\ \text{droit indirect}&-\frac\pi2\end{array}\]

Exemple. \(\frac{15\pi}{4}-4\pi=-\frac\pi4\), donc \(\frac{15\pi}{4}\equiv-\frac\pi4\ [2\pi]\).

1.5 Angles orientés de deux vecteurs

Définition Pour deux vecteurs non nuls \(\vec u,\vec v\), on choisit \(A,B\) tels que \(\overrightarrow{OA}\) ait la direction et le sens de \(\vec u\), et \(\overrightarrow{OB}\) ceux de \(\vec v\) ; alors \((\vec u,\vec v)=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\ [2\pi]\).

Propriété — règles de calcul \[(\vec u,\vec u)\equiv0,\quad(\vec u,-\vec u)\equiv\pi,\quad(\vec v,\vec u)\equiv-(\vec u,\vec v)\ [2\pi],\] et la relation de Chasles : \[\boxed{(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\equiv(\vec u,\vec w)\ [2\pi]}.\]

Propriété — multiplication des vecteurs Pour \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}^*\) : si \(\lambda\mu>0\), \((\lambda\vec u,\mu\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)\) ; si \(\lambda\mu<0\), \((\lambda\vec u,\mu\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi\ [2\pi]\). Multiplier un seul vecteur par un négatif inverse sa direction.

Méthode — calculer avec Chasles Pour \((\vec u,\vec w)\), introduire une direction intermédiaire \(\vec v\) connue : \((\vec u,\vec w)\equiv(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\ [2\pi]\), puis réduire modulo \(2\pi\).

1.6 Cosinus, sinus et tangente d'un réel

Définition Soit \(M\) le point d'abscisse curviligne \(x\). Dans \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\), \[\boxed{M(\cos x,\sin x)}\,:\] le cosinus est l'abscisse de \(M\), le sinus son ordonnée. Lorsque \(\cos x\ne0\), la tangente est \[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}.\]

Propriété — domaine de la tangente La tangente n'existe pas quand \(\cos x=0\), c'est-à-dire \(x=\frac\pi2+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\) : \[D_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac\pi2+k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\right\}.\]

1.7 Relations fondamentales et périodicité

Propriété — relations fondamentales Pour tout \(x\) : \(-1\le\cos x\le1\), \(-1\le\sin x\le1\), et \[\boxed{\cos^2x+\sin^2x=1}.\] Lorsque \(\tan x\) existe, \[\boxed{1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}}.\]

Propriété — périodicité Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) : \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\), \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\) (période \(2\pi\)), et \(\tan(x+k\pi)=\tan x\) (période \(\pi\)).

Méthode — retrouver une ligne trigonométrique Si \(\sin x\) est connu : \(\cos^2x=1-\sin^2x\), donc \(\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}\). Le signe ne se choisit jamais au hasard : il dépend du quadrant de \(x\). Puis \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) si \(\cos x\ne0\).

1.8 Quadrants et signes

Définition Les axes découpent le cercle en quatre quadrants, numérotés dans le sens direct : \[\begin{array}{c|c}\text{Quadrant}&\text{Mesures dans }]0,2\pi[\\\hline \mathrm{I}&]0,\frac\pi2[\\ \mathrm{II}&]\frac\pi2,\pi[\\ \mathrm{III}&]\pi,\frac{3\pi}2[\\ \mathrm{IV}&]\frac{3\pi}2,2\pi[\end{array}\]

Propriété — signe des lignes trigonométriques \[\begin{array}{c|cccc}&\mathrm{I}&\mathrm{II}&\mathrm{III}&\mathrm{IV}\\\hline \cos x&+&-&-&+\\ \sin x&+&+&-&-\\ \tan x&+&-&+&-\end{array}\]

Lire les signes sur les coordonnées Le cosinus (abscisse) est positif à droite de l'axe des ordonnées, négatif à gauche. Le sinus (ordonnée) est positif au-dessus de l'axe des abscisses, négatif en dessous. La tangente est positive quand sinus et cosinus ont le même signe.

1.9 Angles remarquables

Propriété — valeurs exactes \[\begin{array}{c|cccccc}x&0&\frac\pi6&\frac\pi4&\frac\pi3&\frac\pi2&\pi\\\hline \cos x&1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0&-1\\ \sin x&0&\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1&0\\ \tan x&0&\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\text{n.d.}&0\end{array}\]

Retrouver sinus et cosinus Pour \(0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2\), les sinus valent \(\frac{\sqrt0}2,\frac{\sqrt1}2,\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt4}2\). Les cosinus donnent la même liste dans l'ordre inverse, et la tangente est leur quotient.

1.10 Angles associés

Propriété — angle opposé \[\cos(-x)=\cos x,\quad\sin(-x)=-\sin x,\quad\tan(-x)=-\tan x.\] Le cosinus est pair ; le sinus et la tangente sont impairs.

Propriété — supplémentaires et décalés de \(\pi\) \[\begin{array}{c|ccc}&\cos&\sin&\tan\\\hline \pi-x&-\cos x&\sin x&-\tan x\\ \pi+x&-\cos x&-\sin x&\tan x\end{array}\] Les égalités en tangente ne valent que là où les deux membres existent.

Propriété — angles complémentaires \[\begin{array}{c|cc}&\cos&\sin\\\hline \frac\pi2-x&\sin x&\cos x\\ \frac\pi2+x&-\sin x&\cos x\end{array}\] et \(\tan(\frac\pi2-x)=\frac1{\tan x}\), \(\tan(\frac\pi2+x)=-\frac1{\tan x}\) quand elles existent.

Propriété — retour à un tour complet \[\cos(2\pi-x)=\cos x,\quad\sin(2\pi-x)=-\sin x,\quad\tan(2\pi-x)=-\tan x.\]

Comprendre au lieu de réciter Ces formules se lisent par symétrie sur le cercle : \(-x\) → axe des abscisses ; \(\pi-x\) → axe des ordonnées ; \(\pi+x\) → centre \(O\) ; \(\frac\pi2-x\) → échange des coordonnées.

1.11 Réduire un angle et calculer une valeur exacte

Méthode — angle de référence

réduire \(x\) modulo \(2\pi\) (cos, sin) ou modulo \(\pi\) (tan) ;
placer l'angle obtenu dans son quadrant ;
déterminer l'angle remarquable de référence ;
choisir les signes grâce au quadrant ;
appliquer une formule d'angle associé.

Exemple. \(\cos\frac{13\pi}{6}=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\sin(-\frac{5\pi}{3})=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan\frac{5\pi}{4}=\tan\frac\pi4=1\).

L'essentiel du chapitre

\(180^{\circ}\longleftrightarrow\pi\) rad donne toutes les conversions.
Un même point a les abscisses \(x+2k\pi\) ; son abscisse principale est dans \(]-\pi,\pi]\).
Une mesure d'angle orienté est définie modulo \(2\pi\) ; Chasles additionne les angles.
Le point associé à \(x\) a pour coordonnées \((\cos x,\sin x)\).
\(\cos^2x+\sin^2x=1\), mais le quadrant décide du signe de la racine.
La tangente existe pour \(x\ne\frac\pi2+k\pi\) et vaut \(\frac{\sin x}{\cos x}\).
Les angles associés se retrouvent par les symétries du cercle.

2 · Exercices résolus

Conversions

Exercice 1

Convertir \(135^{\circ}\) en radians, et \(\dfrac{5\pi}{6}\) en degrés.

Voir la correction

1. \(135^{\circ}\) en radians. On multiplie par \(\frac{\pi}{180}\) : \[135^{\circ}=135\times\frac{\pi}{180}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}\ \text{rad},\] car \(135\) et \(180\) sont divisibles par \(45\). Contrôle : \(135^{\circ}\) est les trois quarts de \(180^{\circ}\), donc \(\frac34\pi\).

2. \(\frac{5\pi}{6}\) en degrés. On multiplie par \(\frac{180}{\pi}\) : \[\frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi}=\frac{5\times180}{6}=5\times30=150^{\circ}.\] Contrôle : \(\frac{5\pi}{6}<\pi\), donc l'angle est \(<180^{\circ}\) ; \(150^{\circ}\) est cohérent. \(\blacksquare\)

Identité fondamentale

Exercice 2

Sachant que \(\sin x=\dfrac35\) et \(x\in\left]\dfrac\pi2,\pi\right[\), calculer \(\cos x\) et \(\tan x\).

Voir la correction

1. Quadrant et signes. \(\left]\frac\pi2,\pi\right[\) est le deuxième quadrant : \(\sin x>0\), \(\cos x<0\), \(\tan x<0\). Ce signe fixera celui de \(\cos x\).

2. Calcul de \(\cos x\). \[\cos^2x=1-\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\qquad\cos x=\pm\frac45.\] Le deuxième quadrant impose \(\cos x<0\), donc \(\boxed{\cos x=-\dfrac45}\).

3. Calcul de \(\tan x\). Comme \(\cos x\ne0\), \[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac35}{-\frac45}=\frac35\times\left(-\frac54\right)=-\frac34,\qquad\boxed{\tan x=-\frac34}.\]

4. Vérifications. \(\left(-\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1\), et \(\tan x<0\) est bien le signe du deuxième quadrant. \(\blacksquare\)

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