Tronc Commun · Sciences · Chapitre 12

Les transformations du plan

Une transformation du plan déplace chaque point selon une règle géométrique précise ; ce chapitre en étudie quatre. La symétrie axiale S_(D) « replie » le plan autour d'une droite, qui devient la médiatrice de [MM′]. La symétrie centrale S_O retourne le plan autour d'un point O, milieu de [MM′], et vérifie A′B′ = −AB (vecteurs). La translation t_u glisse tout le plan d'un même vecteur u, avec MM′ = u et A′B′ = AB : les figures gardent taille, forme et orientation. L'homothétie h_(Ω,k) agrandit ou réduit à partir d'un centre Ω selon un rapport k, avec ΩM′ = k·ΩM et A′B′ = k·AB : les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k². Le fil conducteur est la conservation : ces transformations préservent l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles et la nature des figures (droite → droite, cercle → cercle). On distingue enfin les isométries (symétries et translation, qui conservent les distances) de l'homothétie de rapport |k| ≠ 1 qui les modifie, et on apprend à reconnaître une transformation, à construire l'image d'une figure et à prouver un parallélisme à l'aide des relations vectorielles caractéristiques.

1 · Résumé du cours

Une transformation du plan associe à chaque point \(M\) un unique point \(M'\), son image. On étudie ici quatre transformations : symétrie axiale, symétrie centrale, translation et homothétie. Les trois premières conservent les longueurs ; l'homothétie les multiplie par une constante.

1.1 Vocabulaire et principe général

Définition Une transformation \(T\) associe à chaque point \(M\) un unique point \(M'=T(M)\). On dit que \(M'\) est l'image de \(M\), ou que \(M\) est un antécédent de \(M'\).

Définition — point invariant Un point \(A\) est invariant par \(T\) si \(\boxed{T(A)=A}\). L'ensemble des points invariants dépend de la transformation.

Une figure est transformée point par point Pour l'image d'un segment, d'une droite, d'un cercle ou d'un polygone, il suffit de transformer quelques points caractéristiques : extrémités, deux points d'une droite, centre et un point d'un cercle, sommets d'un polygone.

1.2 Symétrie axiale

Définition Pour une droite \((D)\), la symétrie axiale \(S_{(D)}\) associe à \(M\) le point \(M'\) tel que \[\boxed{S_{(D)}(M)=M'\iff(D)\text{ est la médiatrice de }[MM'].}\] Si \(M\in(D)\), alors \(M'=M\).

Propriété — points invariants Les invariants de \(S_{(D)}\) sont exactement les points de l'axe : \(\boxed{S_{(D)}(A)=A\iff A\in(D).}\)

Méthode — construire le symétrique d'un point Pour \(M\notin(D)\) : (1) tracer la perpendiculaire à \((D)\) par \(M\) ; (2) noter \(H\) son intersection avec \((D)\) ; (3) placer \(M'\) de l'autre côté avec \(HM'=HM\). Alors \(H\) est le milieu de \([MM']\) et \((D)\perp(MM')\).

Propriété — images usuelles \(S_{(D)}\) conserve longueurs et angles : l'image de \([AB]\) est \([A'B']\) avec \(A'B'=AB\) ; l'image d'un cercle de centre \(I\), rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=S_{(D)}(I)\), même rayon ; l'image d'une droite est une droite (pas forcément parallèle).

Cas particuliers pour une droite L'axe \((D)\) et toute perpendiculaire à \((D)\) sont invariants. Une parallèle à \((D)\) a pour image une parallèle. Sinon, la droite et son image sont généralement sécantes.

1.3 Symétrie centrale

Définition Pour un point \(O\), la symétrie centrale \(S_O\) associe à \(M\) le point \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\) : \[\boxed{S_O(M)=M'\iff\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}.}\]

Propriété — invariant et caractérisation \(O\) est l'unique invariant. Si \(A'=S_O(A)\), \(B'=S_O(B)\), alors \(\boxed{\overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{AB}.}\) Réciproquement, cette égalité pour tous \(A,B\) caractérise une symétrie centrale.

Démonstration. Comme \(\overrightarrow{OA'}=-\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB'}=-\overrightarrow{OB}\), Chasles donne \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AB}\). En prenant les normes, \(A'B'=AB\). ∎

Propriété — images usuelles Une droite \((d)\) devient une parallèle à \((d)\) (invariante si \(O\in(d)\)) ; un segment devient un segment de même longueur ; un cercle de centre \(I\), rayon \(r\) devient le cercle de centre \(I'=S_O(I)\), même rayon.

Exemple (repère). Si \(O(a,b)\), \(M(x,y)\), \(M'(x',y')=S_O(M)\), le milieu donne \(a=\frac{x+x'}2\), \(b=\frac{y+y'}2\), d'où \(\boxed{x'=2a-x,\ y'=2b-y}\). Pour \(O(0,0)\) : \(M'(-x,-y)\).

1.4 Translation

Définition Pour un vecteur \(\vec u\), la translation \(t_{\vec u}\) associe à \(M\) le point \(M'\) tel que \[\boxed{t_{\vec u}(M)=M'\iff\overrightarrow{MM'}=\vec u.}\]

Méthode — construire l'image d'un point Si \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), construire \(M'\) revient à compléter le parallélogramme \(ABM'M\) : parallèle à \((AB)\) par \(M\), parallèle à \((AM)\) par \(B\), leur intersection est \(M'\).

Théorème — propriété caractéristique Si \(A'=t_{\vec u}(A)\), \(B'=t_{\vec u}(B)\), alors \(\boxed{\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}.}\) Réciproquement, cette égalité caractérise une translation.

Démonstration. \(\overrightarrow{AA'}=\vec u\) et \(\overrightarrow{BB'}=\vec u\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=-\vec u+\overrightarrow{AB}+\vec u=\overrightarrow{AB}\). ∎

Propriété — invariants et images Si \(\vec u\ne\vec 0\), aucun invariant (tous si \(\vec u=\vec 0\)). L'image d'une droite est une parallèle (confondue si \(\vec u\) en est un vecteur directeur) ; segment et cercle conservent leurs dimensions, le centre du cercle devient \(t_{\vec u}(I)\).

Exemple (repère). Si \(\vec u=(p,q)\), \(\overrightarrow{MM'}=(x'-x,y'-y)=(p,q)\), donc \(\boxed{x'=x+p,\ y'=y+q}\).

1.5 Homothétie

Définition Pour un point \(\Omega\) et \(k\in\mathbb{R}^*\), l'homothétie \(h_{(\Omega,k)}\) associe à \(M\) le point \(M'\) tel que \[\boxed{h_{(\Omega,k)}(M)=M'\iff\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}.}\] Les points \(\Omega,M,M'\) sont alignés.

Propriété — rôle du rapport Pour \(M\ne\Omega\) : \(k>0\) → \(M,M'\) du même côté de \(\Omega\), \(k<0\) → côtés opposés ; \(|k|>1\) → agrandissement, \(0<|k|<1\) → réduction ; \(k=1\) → identité ; \(k=-1\) → symétrie centrale de centre \(\Omega\).

Méthode — construire l'image d'un point Tracer \((\Omega M)\) : le signe de \(k\) donne le côté de \(\Omega\), la relation \(\Omega M'=|k|\,\Omega M\) fixe la distance. Ex. \(k=-2\) : \(M'\) de l'autre côté, distance double.

Théorème — propriété caractéristique Si \(A'=h_{(\Omega,k)}(A)\), \(B'=h_{(\Omega,k)}(B)\), alors \(\boxed{\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}}\) et \(\boxed{A'B'=|k|\,AB.}\) Réciproquement, pour \(k\ne1\), cette égalité caractérise une homothétie de rapport \(k\).

Démonstration. \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'\Omega}+\overrightarrow{\Omega B'}=-k\overrightarrow{\Omega A}+k\overrightarrow{\Omega B}=k(\overrightarrow{\Omega B}-\overrightarrow{\Omega A})=k\overrightarrow{AB}\). Puis \(A'B'=|k|AB\). ∎

Propriété — invariants et images Si \(k\ne1\), \(\Omega\) est l'unique invariant. Une droite ne passant pas par \(\Omega\) devient une parallèle (invariante si elle passe par \(\Omega\)) ; un segment de longueur \(L\) devient \(|k|L\) ; un cercle de rayon \(r\) devient un cercle de rayon \(|k|r\), centre \(h_{(\Omega,k)}(I)\) ; les aires sont multipliées par \(k^2\).

Exemple (repère). Si \(\Omega(a,b)\), \((x'-a,y'-b)=k(x-a,y-b)\), donc \(\boxed{x'=a+k(x-a),\ y'=b+k(y-b)}\).

Le signe de \(k\) ne change pas le facteur de longueur Dans \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\), le signe agit sur le sens. Pour les longueurs, toujours \(|k|\) ; pour les aires, \(k^2\).

1.6 Propriétés de conservation et récapitulatif

Propriété — propriétés communes Les quatre transformations conservent : l'alignement et la colinéarité ; le milieu et les rapports de longueurs sur une droite ; le parallélisme et l'orthogonalité ; la mesure des angles ; la nature des figures (droite→droite, segment→segment, cercle→cercle).

Récapitulatif

Symétrie axiale — \((D)\) médiatrice de \([MM']\) ; invariants : \((D)\) ; longueurs et aires conservées.
Symétrie centrale — \(\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}\) ; invariant : \(O\) ; longueurs et aires conservées.
Translation — \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) ; aucun invariant si \(\vec u\ne\vec 0\) ; longueurs et aires conservées.
Homothétie — \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\) ; invariant : \(\Omega\) si \(k\ne1\) ; longueurs \(\times|k|\), aires \(\times k^2\).

Isométrie ou homothétie ? Une isométrie conserve toutes les distances : les deux symétries et la translation en sont. L'homothétie n'est une isométrie que si \(|k|=1\) ; sinon elle modifie les longueurs.

1.7 Méthodes essentielles

Méthode — reconnaître la transformation Selon la relation entre \(M\) et \(M'\) : une droite médiatrice de \([MM']\) → symétrie axiale ; un point milieu de \([MM']\) → symétrie centrale ; \(\overrightarrow{MM'}\) constant → translation ; \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\) → homothétie. Toujours préciser axe, centre, vecteur ou rapport.

Méthode — image d'une figure (1) identifier les éléments caractéristiques ; (2) les transformer (extrémités, sommets, centre) ; (3) reconstruire par conservation ; (4) en homothétie, longueurs \(\times|k|\), aires \(\times k^2\). Pour un cercle : transformer le centre, déterminer le rayon image.

Méthode — prouver un parallélisme Transformer deux points \(A,B\) puis utiliser \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\) (translation) ou \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\) (homothétie) : les vecteurs colinéaires donnent la même direction. Vérifier ensuite si les droites sont distinctes ou confondues.

L'essentiel du chapitre

Symétrie axiale : l'axe est la médiatrice de \([MM']\).
Symétrie centrale : \(O\) milieu de \([MM']\), \(\overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{AB}\).
Translation : \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\), \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\).
Homothétie : \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\), \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\).
Symétries et translation conservent les longueurs ; l'homothétie les multiplie par \(|k|\) et les aires par \(k^2\).
Avant de conclure « strictement parallèles », vérifier que les droites ne sont pas confondues.

2 · Exercices résolus

Homothétie, longueur

Exercice 1

\(h\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k=-2\). \(A',B'\) sont les images de \(A,B\), avec \(AB=3\). Calculer \(A'B'\) et préciser la position de \((A'B')\) par rapport à \((AB)\).

Voir la correction

1. Propriété caractéristique. \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}\).

2. Longueur. Une longueur est positive : \(A'B'=|k|\,AB=|-2|\times3=6\), donc \(\boxed{A'B'=6}\).

3. Position des droites. \(\overrightarrow{A'B'}=-2\overrightarrow{AB}\) : vecteurs colinéaires, donc \((A'B')\parallel(AB)\) (éventuellement confondues). Si \(\Omega\notin(AB)\) : distinctes et parallèles ; si \(\Omega\in(AB)\) : \((AB)\) invariante, \((A'B')=(AB)\). \(\Omega\) n'étant pas précisé, on ne tranche pas. Le signe \(-\) inverse seulement le sens. \(\blacksquare\)

Homothétie, cercle et aires

Exercice 2

Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k=3\). Quelle est l'image du cercle \(\mathcal C\) de centre \(I\) et de rayon \(2\) ? Et le rapport des aires ?

Voir la correction

1. Centre image. L'image d'un cercle est un cercle, de centre \(I'=h(I)\) avec \(\overrightarrow{\Omega I'}=3\overrightarrow{\Omega I}\) : comme \(3>0\), \(I,I'\) sur la même demi-droite et \(\Omega I'=3\,\Omega I\).

2. Rayon image. \(r'=|k|r=3\times2=6\). Donc \(\boxed{\mathcal C'\text{ a pour centre }I'=h(I)\text{ et pour rayon }6}\).

3. Rapport des aires. Une homothétie multiplie les aires par \(k^2\) : \(\frac{\mathcal A'}{\mathcal A}=3^2=9\). Contrôle : \(\mathcal A=\pi\cdot2^2=4\pi\), \(\mathcal A'=\pi\cdot6^2=36\pi\), \(\frac{36\pi}{4\pi}=9\), d'où \(\boxed{\mathcal A'=9\mathcal A}\). \(\blacksquare\)

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