Tronc Commun · Sciences · Chapitre 13

Le produit scalaire

Le produit scalaire est l'outil qui fait entrer les angles et les distances dans le calcul vectoriel : à deux vecteurs il associe un nombre réel u·v. Ce chapitre en donne trois visages équivalents — la projection orthogonale (u·v = ±AB × AH selon le sens), la forme trigonométrique u·v = ‖u‖‖v‖cos θ, et, en repère orthonormé, l'expression analytique u·v = xx′ + yy′ — et apprend à choisir le bon selon les données. On commence par la norme d'un vecteur ‖u‖ = √(x² + y²), puis on établit les règles de calcul (symétrie, distributivité, identités remarquables ‖u ± v‖² = ‖u‖² ± 2u·v + ‖v‖²) qui font manipuler le produit scalaire comme un produit algébrique. Son application vedette est l'orthogonalité : u ⊥ v ⟺ u·v = 0, critère qui prouve une perpendicularité ou caractérise le cercle de diamètre [AB]. La seconde moitié déploie les grandes relations métriques du triangle : les relations dans le triangle rectangle, le théorème d'Al-Kashi a² = b² + c² − 2bc·cos (Pythagore généralisé), le théorème de la médiane MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 (idéal pour les lieux de points), et enfin l'aire S = ½bc·sin avec la formule des sinus.

1 · Résumé du cours

Le produit scalaire associe un nombre réel à deux vecteurs. Il relie longueurs, projections et angles, et permet de tester une orthogonalité, de calculer une distance ou un angle, puis d'établir les grandes relations métriques d'un triangle.

1.1 Norme d'un vecteur

Définition Pour un vecteur \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), la norme \(\|\vec u\|\) est la distance \(AB\) : \[\boxed{\|\vec u\|=\|\overrightarrow{AB}\|=AB.}\] Elle ne dépend pas du représentant choisi.

Propriété Pour tout vecteur \(\vec u\) : \[\|\vec u\|\geqslant0,\qquad\|\vec u\|=0\iff\vec u=\vec 0,\qquad\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|.\] Dans un repère orthonormé, si \(\vec u=(x,y)\), alors \(\boxed{\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.}\)

Norme et coordonnées La formule \(\sqrt{x^2+y^2}\) repose sur Pythagore : elle exige un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, elle est en général fausse.

1.2 Définition géométrique du produit scalaire

1.2.1 Définition par projection orthogonale

Définition Soient \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AC}\) non nuls et \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\). Le produit scalaire est \[\boxed{\vec u\cdot\vec v=\begin{cases}AB\times AH,&\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AH}\text{ de même sens},\\0,&H=A,\\-AB\times AH,&\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AH}\text{ de sens opposés}.\end{cases}}\] Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

Propriété — invariance par projection La composante de \(\overrightarrow{AC}\) perpendiculaire à \((AB)\) n'intervient pas : \[\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}.}\] On peut projeter orthogonalement les extrémités d'un vecteur sur la direction de l'autre.

Exemple. Si \(AB=5\) et \(AH=3\) : lorsque \(H\in[AB)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times3=15\) ; lorsque \(H\) est sur la demi-droite opposée à \([AB)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-15\). Le signe traduit la position de la projection par rapport à \(A\).

1.2.2 Forme trigonométrique

Théorème Pour \(\vec u,\vec v\) non nuls formant un angle géométrique \(\theta\) avec \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) : \[\boxed{\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.}\] Pour trois points distincts : \(\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}.}\)

Propriété — signe du produit scalaire \[\begin{array}{c|c|c}0\leqslant\theta<90^\circ & \theta=90^\circ & 90^\circ<\theta\leqslant180^\circ\\ \hline \vec u\cdot\vec v>0 & \vec u\cdot\vec v=0 & \vec u\cdot\vec v<0\end{array}\] Le produit scalaire est positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.

Choisir la bonne définition Utiliser la projection lorsqu'un projeté ou une hauteur apparaît ; la forme trigonométrique lorsque les deux longueurs et l'angle compris sont connus.

1.3 Expressions calculatoires

1.3.1 À l'aide des normes

Propriété Pour tous \(\vec u,\vec v\) : \[\boxed{\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)}\] \[\boxed{\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right).}\]

Propriété — formule avec trois points \[\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)}\] car \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\).

1.3.2 À l'aide des coordonnées

Théorème — expression analytique Dans un repère orthonormé, si \(\vec u=(x,y)\) et \(\vec v=(x',y')\) : \[\boxed{\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.}\] Pour \(A,B,C\), calculer d'abord \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\) et \(\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A)\).

Exemple. Pour \(\vec u=(2,-3)\), \(\vec v=(4,1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=2\times4+(-3)\times1=5\). Avec \(\|\vec u\|=\sqrt{13}\), \(\|\vec v\|=\sqrt{17}\), l'angle vérifie \(\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{221}}\).

Méthode — calculer un produit scalaire Choisir l'expression adaptée aux données :

projection connue → longueur projetée avec son signe ;
longueurs et angle connus → \(\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\) ;
normes de \(\vec u,\vec v,\vec u\pm\vec v\) connues → identités avec les normes ;
coordonnées en repère orthonormé → \(xx'+yy'\) ;
trois distances \(AB,AC,BC\) connues → \(\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\).

1.4 Propriétés algébriques

Propriété Pour tous \(\vec u,\vec v,\vec w\) et tout réel \(k\) : \[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v&=\vec v\cdot\vec u&&\text{(symétrie)},\\\vec u\cdot(\vec v+\vec w)&=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w&&\text{(distributivité)},\\(k\vec u)\cdot\vec v&=k(\vec u\cdot\vec v)=\vec u\cdot(k\vec v)&&\text{(homogénéité)}.\end{aligned}\] Enfin \(\boxed{\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\geqslant0}\) et \(\vec u\cdot\vec u=0\iff\vec u=\vec 0\).

Propriété — identités remarquables \[\begin{aligned}\|\vec u+\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\\\|\vec u-\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\\(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)&=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2,\\\|\vec u+\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2&=2\bigl(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\bigr).\end{aligned}\]

Développer comme en algèbre On développe un produit scalaire comme un produit algébrique, en respectant les vecteurs. Par exemple \((2\vec u-3\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=2\|\vec u\|^2-\vec u\cdot\vec v-3\|\vec v\|^2\).

1.5 Orthogonalité et calcul d'un angle

Théorème — orthogonalité \[\boxed{\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0.}\] En repère orthonormé, pour \(\vec u=(x,y)\), \(\vec v=(x',y')\) : \(\boxed{\vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0.}\)

Méthode — deux droites perpendiculaires

choisir un vecteur directeur de chaque droite ;
calculer leur produit scalaire ;
s'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites perpendiculaires.

Méthode — déterminer un angle Calculer le produit scalaire et les normes, puis \[\boxed{\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}.}\] Régler la calculatrice dans l'unité d'angle demandée (souvent le degré).

Propriété — cercle de diamètre \([AB]\) Pour \(A\ne B\) et tout point \(M\) : \[\boxed{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\text{ est sur le cercle de diamètre }[AB].}\] Pour \(M\ne A,B\), c'est le théorème de l'angle inscrit droit ; \(A\) et \(B\) conviennent aussi (un vecteur est nul).

1.6 Relations métriques dans un triangle rectangle

Propriété Soit \(ABC\) rectangle en \(A\), \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur \([BC]\). Alors \[\boxed{\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2,\\AB^2&=BH\times BC,\\AC^2&=CH\times CB,\\AH^2&=HB\times HC,\\AB\times AC&=AH\times BC.\end{aligned}}\]

Démonstration de \(AB^2=BH\times BC\). Les triangles rectangles \(ABH\) et \(ABC\) partagent l'angle en \(B\), donc \(\cos\widehat B=\dfrac{BH}{AB}\) et \(\cos\widehat B=\dfrac{AB}{BC}\). D'où \(\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\), soit \(AB^2=BH\times BC\). Les autres relations s'obtiennent de même ou par les aires. ∎

1.7 Théorème d'Al-Kashi

Théorème — loi des cosinus Dans un triangle \(ABC\), avec \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) : \[\boxed{\begin{aligned}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A,\\b^2&=c^2+a^2-2ca\cos\widehat B,\\c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C.\end{aligned}}\]

Démonstration de la 1ʳᵉ formule. Chasles donne \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), donc \(BC^2=\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\). ∎

Pythagore est un cas particulier Si \(\widehat A=90^\circ\), \(\cos\widehat A=0\) et Al-Kashi devient \(a^2=b^2+c^2\). Repérer d'abord le côté opposé à l'angle utilisé : il est seul dans le membre de gauche.

Méthode — utiliser Al-Kashi

calculer un côté : connaître les deux autres côtés et l'angle compris ;
calculer un angle : connaître les trois côtés et isoler \(\cos\widehat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).

Une longueur étant positive, terminer un calcul de \(a^2\) par \(a=\sqrt{a^2}\).

1.8 Théorème de la médiane

Théorème Soient \(A,B\), \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(M\) quelconque. Alors \[\boxed{MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.}\] Dans un triangle \(ABC\), si \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \(\boxed{AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}.}\)

Démonstration. \(I\) milieu de \([AB]\) donne \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0\) et \(IA=IB=\tfrac{AB}{2}\). Avec \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\), \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\), les produits croisés s'annulent en additionnant : \(MA^2+MB^2=2MI^2+2\left(\tfrac{AB}{2}\right)^2=2MI^2+\tfrac{AB^2}{2}\). ∎

Propriété — deux conséquences exactes Dans \(ABC\), \(I\) milieu de \([BC]\) : \[\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AI^2-\frac{BC^2}{4}}\qquad\boxed{AB^2-AC^2=2\,\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IA}.}\] La seconde fixe le signe : ne pas remplacer \(\overrightarrow{IA}\) par \(\overrightarrow{AI}\) sans changer le signe.

Reconnaître le théorème de la médiane Dès qu'une somme \(MA^2+MB^2\) apparaît, introduire le milieu \(I\) de \([AB]\) : l'expression ne dépend plus que de \(MI^2\) et de la constante \(AB^2/2\), et les ensembles obtenus sont souvent des cercles de centre \(I\).

1.9 Aire d'un triangle et formule des sinus

Propriété — aire Dans \(ABC\), avec \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) et aire \(\mathcal S\) : \[\boxed{\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A=\tfrac12ca\sin\widehat B=\tfrac12ab\sin\widehat C.}\]

Théorème — formule des sinus Dans tout triangle non aplati : \[\boxed{\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=\frac{c}{\sin\widehat C}=\frac{abc}{2\mathcal S}.}\]

Méthode — Al-Kashi ou les sinus ?

trois côtés, ou deux côtés et l'angle compris → Al-Kashi ;
un côté et son angle opposé, avec un autre côté ou angle → formule des sinus ;
deux côtés et l'angle compris pour une aire → \(\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A\).

L'essentiel du chapitre

\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta=xx'+yy'\) (repère orthonormé).
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\).
Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\).
Médiane : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}\) (\(I\) milieu de \([AB]\)).
Aire : \(\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A\) ; la formule des sinus relie chaque côté au sinus de l'angle opposé.
Toujours choisir la formule adaptée aux données avant de calculer.

2 · Exercices résolus

Coordonnées, orthogonalité

Exercice 1

Dans un repère orthonormé, \(\vec u(3,-1)\) et \(\vec v(2,6)\). Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et conclure.

Voir la correction

1. Choisir l'expression. Repère orthonormé, coordonnées connues : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\).

2. Calcul. \(\vec u\cdot\vec v=3\times2+(-1)\times6=6-6=0\).

3. Interprétation. Les vecteurs sont non nuls et leur produit scalaire est nul, donc \(\boxed{\vec u\perp\vec v}\) : ils forment un angle droit.

Vérification. Un vecteur orthogonal à \((3,-1)\) est \((1,3)\), et \(\vec v=(2,6)=2(1,3)\) : cohérent. \(\blacksquare\)

Al-Kashi

Exercice 2

Dans un triangle \(ABC\), \(AB=5\), \(AC=8\) et \(\widehat A=60^\circ\). Calculer \(BC\).

Voir la correction

1. Configuration. Deux côtés et l'angle compris \(\widehat A\) sont connus ; \(BC\) est opposé à \(\widehat A\) : Al-Kashi.

2. Formule. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos\widehat A\), soit \[BC^2=5^2+8^2-2\times5\times8\times\cos60^\circ=25+64-80\times\tfrac12=89-40=49.\]

3. Longueur. \(BC=\sqrt{49}=7\), donc \(\boxed{BC=7}\).

Contrôle. \(|8-5|<7<8+5\), soit \(3<7<13\) : l'inégalité triangulaire est respectée. \(\blacksquare\)

Théorème de la médiane, lieu

Exercice 3

\(B\) et \(C\) sont fixes avec \(BC=6\). Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(MB^2+MC^2=26\).

Voir la correction

1. Milieu adapté. La somme \(MB^2+MC^2\) invite à poser \(I\) milieu de \([BC]\). Le théorème de la médiane donne \(MB^2+MC^2=2MI^2+\dfrac{BC^2}{2}\).

2. Remplacer. \(BC^2=36\), donc \(2MI^2+\dfrac{36}{2}=26\Rightarrow 2MI^2+18=26\Rightarrow 2MI^2=8\Rightarrow MI^2=4\), d'où \(MI=2\).

3. Traduction. \(MI=2\) : \(M\) est à distance constante \(2\) du point fixe \(I\). L'ensemble est \(\boxed{\text{le cercle de centre }I\text{ (milieu de }[BC])\text{, rayon }2}\).

Réciproque. Tout \(M\) de ce cercle vérifie \(MB^2+MC^2=2\times2^2+\dfrac{6^2}{2}=8+18=26\). Le cercle entier, et lui seul, convient. \(\blacksquare\)

QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM