Tronc Commun · Sciences · Chapitre 14

Géométrie dans l'espace

Passer du plan à l'espace change la règle du jeu : deux droites qui ne se coupent pas n'y sont plus forcément parallèles — elles peuvent être « gauches », c'est-à-dire non contenues dans un même plan. Ce chapitre installe d'abord les axiomes d'incidence (deux points définissent une droite, trois points non alignés un plan) et les quatre façons de déterminer un plan. On classe ensuite toutes les positions relatives : deux droites (sécantes, parallèles, confondues ou gauches), une droite et un plan (sécants, incluse, strictement parallèles), deux plans (sécants, parallèles, confondus). Vient le cœur du programme : le parallélisme dans l'espace, avec le critère « une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan » et le théorème du toit, puis l'orthogonalité, en distinguant droites orthogonales (directions perpendiculaires) et perpendiculaires (orthogonales ET sécantes), avec le critère-clé : une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale à tout le plan. La dernière partie est métrique : aires et volumes des solides usuels (prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère, avec le facteur ⅓ pour les solides pointus), les sections planes, et l'effet d'une échelle k — les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.

1 · Résumé du cours

La géométrie dans l'espace étudie points, droites, plans et solides. Une difficulté nouvelle apparaît : deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles. Il faut donc identifier précisément les positions relatives avant d'invoquer parallélisme ou orthogonalité.

1.1 Axiomes d'incidence

Propriété — règles fondamentales

par deux points distincts \(A,B\) passe une unique droite \((AB)\) ;
par trois points non alignés \(A,B,C\) passe un unique plan \((ABC)\) ;
si deux points distincts d'une droite appartiennent à un plan \((P)\), toute la droite est contenue dans \((P)\) ;
si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite passant par ce point.

Toutes les propriétés de la géométrie plane restent valables dans chaque plan de l'espace.

Le réflexe « deux points suffisent » Pour montrer \((D)\subset(P)\), choisir deux points distincts de \((D)\) et vérifier qu'ils appartiennent à \((P)\) : l'axiome d'incidence conclut aussitôt.

1.2 Détermination d'un plan

Théorème Un plan est déterminé de façon unique par : trois points non alignés ; une droite et un point hors de cette droite ; deux droites sécantes ; deux droites strictement parallèles.

Exemple. Dans un cube \(ABCDEFGH\), la face inférieure définit le plan \((ABC)=(ABCD)\). La droite \((CG)\) et le point \(B\notin(CG)\) déterminent le plan de la face \((BCGF)\).

Méthode — prouver un alignement dans une section Si trois points \(I,J,K\) appartiennent à deux plans distincts \((P)\) et \((Q)\), ils sont tous sur la droite \((P)\cap(Q)\), donc alignés. Étapes : (1) identifier les deux plans contenant les trois points ; (2) vérifier qu'ils sont distincts ; (3) conclure qu'ils sont sur la droite d'intersection.

1.3 Positions relatives

1.3.1 Deux droites

Définition Deux droites sont coplanaires si un même plan les contient (alors sécantes, strictement parallèles ou confondues), et non coplanaires ou gauches si aucun plan ne les contient. Deux droites gauches ne sont ni sécantes ni parallèles.

1.3.2 Une droite et un plan

Propriété Pour \((D)\) et \((P)\), trois cas exactement : \((D)\) coupe \((P)\) en un point unique (sécants) ; \((D)\subset(P)\) (incluse) ; \((D)\cap(P)=\varnothing\) (strictement parallèles). Le mot « parallèle » peut inclure l'inclusion ; « strictement parallèle » l'exclut.

1.3.3 Deux plans

Propriété Deux plans sont sécants (intersection = une droite), strictement parallèles (aucun point commun) ou confondus. Les deux derniers cas forment les « plans parallèles ».

Ne pas conclure trop vite Dans l'espace, « ne se coupent pas » n'implique pas « parallèles » pour deux droites : il faut d'abord justifier qu'elles sont coplanaires. En revanche, deux plans distincts sans point commun sont bien strictement parallèles.

1.4 Parallélisme dans l'espace

1.4.1 Droites parallèles

Propriété Deux droites sont parallèles ⟺ elles sont coplanaires et parallèles dans ce plan. De plus : par un point passe une unique parallèle à une droite donnée ; deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

1.4.2 Droite parallèle à un plan

Théorème — critère pratique Soit \((D)\not\subset(P)\). Si \((D)\) est parallèle à une droite \((D')\subset(P)\), alors \(\boxed{(D)\parallel(P)\text{ strictement}.}\) Réciproquement, si \((D)\) est strictement parallèle à \((P)\), il existe dans \((P)\) une droite parallèle à \((D)\).

Méthode — \((D)\parallel(P)\)

chercher dans \((P)\) une droite \((D')\) parallèle à \((D)\) ;
justifier \((D')\subset(P)\) ;
vérifier que \((D)\not\subset(P)\) ;
appliquer le critère.

L'étape 3 évite de confondre « incluse » et « strictement parallèle ».

1.4.3 Plans parallèles

Théorème — critère de parallélisme de deux plans Si un plan \((P)\) contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan \((Q)\), alors \((P)\parallel(Q)\).

Propriété Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux ; si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, leurs droites d'intersection sont parallèles.

Théorème du toit Soient \((P)\) et \((Q)\) sécants selon \((\Delta)\). Si \((D)\subset(P)\), \((D')\subset(Q)\) et \((D)\parallel(D')\), alors \(\boxed{(\Delta)\parallel(D)\parallel(D').}\)

1.5 Orthogonalité dans l'espace

1.5.1 Droites orthogonales et perpendiculaires

Définition Deux droites sont orthogonales lorsque leurs directions sont perpendiculaires (elles ne sont pas forcément sécantes). Elles sont perpendiculaires lorsqu'elles sont orthogonales et sécantes. Perpendiculaires ⟹ orthogonales, mais la réciproque est fausse dans l'espace.

1.5.2 Droite orthogonale à un plan

Définition \((D)\) est orthogonale à \((P)\) si elle est orthogonale à toutes les droites de \((P)\). Elle coupe alors \((P)\) en un point unique \(H\), le pied de la perpendiculaire.

Théorème — critère des deux droites sécantes Si \((D)\) est orthogonale à deux droites sécantes \((D_1),(D_2)\) de \((P)\), alors \(\boxed{(D)\perp(P)}\) et \((D)\) est orthogonale à toute droite de \((P)\).

Deux directions indépendantes suffisent Une seule droite de \((P)\) ne suffit pas (une infinité de plans la contiennent). Deux droites sécantes donnent deux directions distinctes et déterminent le plan.

Propriété Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles ; deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles ; si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un l'est à l'autre ; deux plans sont perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.

Définition — distance d'un point à un plan Pour \(A\) extérieur à \((P)\) et \(H\) le pied de la perpendiculaire à \((P)\) issue de \(A\) : \(\boxed{d\bigl(A,(P)\bigr)=AH.}\) Si \(A\in(P)\), la distance est nulle.

1.6 Solides usuels, aires et volumes

Définition Un prisme droit a deux bases polygonales parallèles superposables et des faces latérales rectangulaires. Une pyramide a une base polygonale et des faces triangulaires de sommet commun. Un cylindre a deux disques parallèles de même rayon, un cône un disque de base et un sommet, une sphère son centre et son rayon. Le pavé droit est un prisme à base rectangulaire ; le cube, un pavé à arêtes égales.

Propriété — volumes Avec \(\mathcal B\) l'aire de base et \(h\) la hauteur :

prisme droit ou cylindre : \(V=\mathcal B h\) ;
pyramide ou cône : \(V=\tfrac13\mathcal B h\) ;
pavé droit \(L,\ell,h\) : \(V=L\ell h\) ;
cube d'arête \(a\) : \(V=a^3\) ;
sphère de rayon \(R\) : \(V=\tfrac43\pi R^3\).

La hauteur se mesure perpendiculairement à la base, à ne pas confondre avec une arête oblique.

Propriété — aires Avec rayon \(R\), hauteur \(h\), génératrice \(g\) du cône :

cylindre : latérale \(2\pi Rh\), totale \(2\pi Rh+2\pi R^2\) ;
cône : latérale \(\pi Rg\), totale \(\pi Rg+\pi R^2\) ;
sphère : \(4\pi R^2\) ;
pavé droit \(L,\ell,h\) : \(\mathcal A=2(L\ell+Lh+\ell h)\) ; cube : \(\mathcal A=6a^2\).

Reconnaître le facteur \(\tfrac13\) Prisme et cylindre remplissent toute la hauteur au-dessus de leur base : \(V=\mathcal Bh\). Pyramide et cône se terminent en un sommet : à base et hauteur égales, leur volume est le tiers, \(\tfrac13\mathcal Bh\).

1.7 Sections planes de solides

Propriété L'intersection d'un plan et d'un solide est une section plane. Cas usuels :

pavé droit, plan parallèle à une face → rectangle superposable à cette face ;
pyramide, plan parallèle à la base → polygone à côtés parallèles à ceux de la base (triangle dans un tétraèdre) ;
cylindre, plan parallèle aux bases → cercle de même rayon ; plan parallèle à l'axe → rectangle ;
cône, plan parallèle à la base → cercle centré sur l'axe ;
sphère de centre \(O\), rayon \(R\), plan à distance \(d

Méthode — construire une section

placer les points où le plan de coupe rencontre les arêtes ;
dans chaque face, relier seulement les points de cette face ;
utiliser le parallélisme : deux plans parallèles coupés par une face donnent des droites parallèles ;
vérifier que le polygone est fermé et que ses côtés sont dans des faces.

1.8 Effet d'un agrandissement

Propriété Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k>0\) : \[\boxed{\begin{array}{c|c}\text{Grandeur} & \text{Facteur}\\ \hline \text{Longueurs} & k\\ \text{Aires} & k^2\\ \text{Volumes} & k^3\end{array}}\] Doubler les longueurs multiplie les aires par \(4\) et les volumes par \(8\).

Méthode — calculer un volume sans erreur

identifier la nature du solide ;
calculer l'aire de base \(\mathcal B\) ;
repérer la hauteur \(h\), perpendiculaire à la base ;
choisir \(\mathcal Bh\) ou \(\tfrac13\mathcal Bh\) ;
écrire l'unité au cube et contrôler l'effet d'une échelle.

L'essentiel du chapitre

Un plan est déterminé par 3 points non alignés, une droite et un point extérieur, deux droites sécantes ou deux droites parallèles ; deux droites non sécantes peuvent être gauches.
Pour \((D)\parallel(P)\) : trouver dans \((P)\) une parallèle à \((D)\). Pour \((D)\perp(P)\) : deux droites sécantes de \((P)\) orthogonales à \((D)\).
Volumes : \(\mathcal Bh\), \(\tfrac13\mathcal Bh\) ou \(\tfrac43\pi R^3\) ; échelle \(k\) : aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).

2 · Exercices résolus

Positions relatives, cube

Exercice 1

\(ABCDEFGH\) est un cube. Quelle est la position relative de \((AB)\) et \((HG)\) ? Et celle de \((AB)\) et \((CG)\) ?

Voir la correction

Marquage usuel : \(ABCD\) et \(EFGH\) faces opposées, \([AE],[BF],[CG],[DH]\) les arêtes verticales.

1. \((AB)\) et \((HG)\). \(A,B,G,H\) sont dans le plan de la section \(ABGH\), où \(ABGH\) est un rectangle. Ses côtés opposés donnent \(\boxed{(AB)\parallel(HG)}\) : coplanaires, distinctes, sans point commun → strictement parallèles.

2. \((AB)\) et \((CG)\). \((CG)\) est dans la face \((BCGF)\), qui contient \(B\) mais pas \(A\) : donc \((AB)\not\subset(BCGF)\) et ne la coupe qu'en \(B\). Or \(B\notin(CG)\), donc les droites ne sont pas sécantes. Elles ne sont pas parallèles (directions d'arêtes perpendiculaires). Deux droites coplanaires non parallèles seraient sécantes : n'étant ni l'un ni l'autre, elles sont \(\boxed{\text{gauches}}\) — orthogonales mais non perpendiculaires. \(\blacksquare\)

Volume, agrandissement

Exercice 2

Une pyramide a pour base un carré de côté \(6\) et pour hauteur \(10\). Calculer son volume. Que devient-il si l'on double toutes les longueurs ?

Voir la correction

1. Volume initial. Aire de base \(\mathcal B=6^2=36\). Pour une pyramide \(V=\tfrac13\mathcal Bh\), avec \(h=10\) : \(V=\tfrac13\times36\times10=\boxed{120}\) (unités cubes).

2. Doublement. Coefficient \(k=2\) : le volume est multiplié par \(k^3=8\), donc \(V'=8\times120=\boxed{960}\).

Vérification directe. Nouveau côté \(12\), nouvelle hauteur \(20\) : \(V'=\tfrac13\times12^2\times20=\tfrac13\times144\times20=960\). Les longueurs doublent, mais le volume est multiplié par \(8\), non par \(2\). \(\blacksquare\)

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