Tronc Commun · Sciences · Chapitre 15

Statistiques

Comment résumer des centaines de données par quelques nombres parlants ? La statistique répond en deux temps : un paramètre de position, qui dit où se situe l'ensemble, et un paramètre de dispersion, qui dit à quel point il est étalé — car deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes. Ce chapitre pose d'abord le vocabulaire (caractère, effectif nᵢ, effectif total N, fréquence fᵢ = nᵢ/N, séries discrètes ou regroupées en classes), puis les trois paramètres de position : la moyenne x̄ = (1/N)Σnᵢxᵢ, la médiane qui coupe la série ordonnée en deux moitiés égales, et le mode, valeur la plus fréquente. Un point-clé à comprendre : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes tandis que la médiane leur résiste — sur des salaires très inégaux, c'est la médiane qui décrit le mieux le groupe. La dispersion vient ensuite avec l'étendue, la variance V = (1/N)Σnᵢxᵢ² − x̄² (formule développée, plus rapide à calculer) et l'écart type σ = √V, qui mesure l'écart moyen à la moyenne dans la même unité que les données : petit σ pour une série homogène, grand σ pour une série étalée.

1 · Résumé du cours

Les statistiques résument un grand nombre de données par quelques nombres bien choisis : où se situe l'ensemble (position) et à quel point il est étalé (dispersion). Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes — d'où l'importance des deux familles d'indicateurs.

1.1 Vocabulaire

Définition Une série statistique associe à chaque valeur \(x_i\) d'un caractère son effectif \(n_i\) (nombre d'individus concernés). L'effectif total est \(N=\sum n_i\), et la fréquence de \(x_i\) est \[f_i=\frac{n_i}{N}\qquad\Big(\text{avec }\sum f_i=1\Big).\]

Définition Un caractère est qualitatif (couleur, sport) ou quantitatif (taille, note) ; ce dernier peut être discret (valeurs isolées) ou continu (regroupé en classes \([a,b[\)).

1.2 Paramètres de position

Définition — moyenne \[\boxed{\;\overline{x}=\frac1N\sum_i n_i\,x_i=\sum_i f_i\,x_i\;}\] Pour une série en classes, \(x_i\) est le centre de chaque classe.

Définition — médiane et mode La médiane \(M_e\) partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux. Le mode est la valeur (ou la classe) de plus grand effectif.

Méthode — calculer la médiane On ordonne les \(N\) valeurs :

si \(N\) est impair, \(M_e\) est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\) ;
si \(N\) est pair, \(M_e\) est la moyenne des valeurs de rangs \(\frac N2\) et \(\frac N2+1\).

Moyenne ou médiane ? La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane ne l'est pas. Sur les salaires d'une entreprise où le patron gagne très gros, la moyenne « monte » artificiellement : la médiane décrit mieux la réalité du groupe.

1.3 Paramètres de dispersion

Définition — étendue L'étendue est \(e=x_{\max}-x_{\min}\).

Définition — variance et écart type \[\boxed{\;V=\frac1N\sum_i n_i\big(x_i-\overline{x}\big)^2=\underbrace{\frac1N\sum_i n_i x_i^2-\overline{x}^{\,2}}_{\text{formule développée, plus rapide}}\;}\] \[\boxed{\;\sigma=\sqrt{V}\;}\quad(\textbf{écart type})\]

Ce que mesure l'écart type L'écart type dit « en moyenne, de combien les valeurs s'écartent de \(\overline{x}\) ». Un \(\sigma\) petit = série homogène (regroupée) ; un \(\sigma\) grand = série hétérogène (étalée). Il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance.

L'essentiel du chapitre

\(\overline{x}=\frac1N\sum n_i x_i\) (centres de classes si série continue).
Médiane : partage en deux moitiés ; robuste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
Variance : \(V=\frac1N\sum n_i x_i^2-\overline{x}^{\,2}\) (plus rapide) ; écart type \(\sigma=\sqrt V\), même unité que les données.
Position et dispersion : les deux sont nécessaires pour décrire une série.

2 · Exercices résolus

Position, notes

Exercice 1

On relève les notes : \(8,\ 12,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 17\). Calculer la moyenne, la médiane, le mode et l'étendue.

Voir la correction

Moyenne. \(N=8\), somme \(=8+12+12+14+15+15+15+17=108\), donc \(\overline{x}=\dfrac{108}{8}=13{,}5\).

Médiane. \(N=8\) est pair : moyenne des valeurs de rangs \(4\) et \(5\), soit \(\dfrac{14+15}{2}=14{,}5\).

Mode. La valeur \(15\) apparaît \(3\) fois : c'est la plus fréquente.

Étendue. \(17-8=9\). \(\blacksquare\)

Dispersion, effectifs

Exercice 2

Une série a pour valeurs \(x_i=2,\ 4,\ 6\) d'effectifs \(n_i=1,\ 2,\ 1\). Calculer \(\overline{x}\), la variance et l'écart type.

Voir la correction

Moyenne. \(N=1+2+1=4\), et \(\overline{x}=\dfrac{1\times2+2\times4+1\times6}{4}=\dfrac{16}{4}=4\).

Variance (formule développée). \(\dfrac1N\sum n_i x_i^2=\dfrac{1\times4+2\times16+1\times36}{4}=\dfrac{72}{4}=18\), donc \(V=18-4^2=2\).

Écart type. \(\sigma=\sqrt2\approx1{,}41\). \(\blacksquare\)

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