Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique z = a + ib, mais aussi sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle. Savoir passer de l'une à l'autre est le cœur de l'exercice de complexes au Bac : la forme algébrique est commode pour additionner, les formes trigonométrique et exponentielle le sont pour multiplier, diviser et élever à une puissance. Voici la démarche.

Calculer le module

Le module de z = a + ib, noté |z|, est la distance du point d'affixe z à l'origine. Il se calcule par |z| = √(a² + b²). C'est toujours un nombre positif ou nul. Le module est la première information à déterminer, car il apparaît dans les deux autres formes.

• |z| = √(a² + b²), toujours positif ou nul.
• |z| = 0 uniquement lorsque z = 0.
• Le module d'un produit est le produit des modules.

Déterminer un argument

Un argument de z (avec z non nul), noté arg(z), est une mesure de l'angle entre l'axe des réels et le vecteur d'affixe z. On le trouve en résolvant le système cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z|. Il faut les deux équations : le cosinus seul ne suffit pas à fixer l'angle. L'argument est défini modulo 2π.

• Résous cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z| ensemble.
• Place le point pour choisir le bon quadrant.
• L'argument d'un produit est la somme des arguments.

La forme exponentielle

Une fois le module r = |z| et un argument θ connus, la forme trigonométrique s'écrit z = r(cos θ + i sin θ), et la forme exponentielle, plus compacte, z = r·e^(iθ). Cette dernière rend les calculs de puissances immédiats grâce à la formule de Moivre : élever à la puissance n multiplie l'argument par n et élève le module à la puissance n.

Pourquoi ces formes sont si utiles

Les formes trigonométrique et exponentielle transforment des calculs pénibles en opérations simples sur les modules et les arguments. Elles sont indispensables pour interpréter géométriquement une multiplication complexe comme une rotation suivie d'une homothétie, et pour traiter les racines n-ièmes. Maîtriser le passage entre les trois formes, c'est tenir la quasi-totalité de l'exercice de complexes.

• Multiplier : on multiplie les modules et on ajoute les arguments.
• Élever à une puissance : formule de Moivre.
• Interprétation géométrique : rotations et similitudes.