Nombres complexes (2 Bac) : résumé de cours et méthodes

Les nombres complexes font le lien entre l'algèbre et la géométrie. C'est un chapitre très rentable au Bac, car les questions y sont souvent guidées. Voici le résumé des notions clés.

Forme algébrique et conjugué

Un nombre complexe s'écrit z = a + ib, où a est la partie réelle, b la partie imaginaire, et i le nombre imaginaire vérifiant i² = −1. Son conjugué est z̄ = a − ib : dans le plan complexe, c'est le symétrique de z par rapport à l'axe des réels. Une identité essentielle : z · z̄ = a² + b² = |z|², ce qui permet de calculer facilement un inverse ou un quotient.

Module et argument

Le module |z| = √(a² + b²) représente la distance de l'origine au point d'affixe z. L'argument θ est l'angle que fait le vecteur avec l'axe des réels, avec cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|. Ces deux données mènent à la forme trigonométrique z = |z|(cos θ + i sin θ) et à la forme exponentielle z = |z|·e^(iθ), particulièrement pratique pour les calculs.

Pourquoi la forme exponentielle est si utile

Avec la forme exponentielle, les produits, quotients et puissances deviennent simples : les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. La formule de Moivre, (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), en découle directement et sert à calculer des puissances élevées sans développer.

Les applications géométriques

• La distance entre deux points A et B vaut |z_B − z_A|.
• L'ensemble des points tels que |z − z_A| = r est un cercle de centre A et de rayon r.
• L'ensemble des points tels que |z − z_A| = |z − z_B| est la médiatrice de [AB].
• Multiplier par e^(iθ) revient à effectuer une rotation d'angle θ.

Exemple entièrement résolu

Mettons z = 1 + i√3 sous forme exponentielle, puis calculons z⁶. C'est l'exercice type qui montre toute la puissance de la forme exponentielle.

Première étape, le module : |z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2. Deuxième étape, l'argument θ. On utilise cos θ = a/|z| = 1/2 et sin θ = b/|z| = √3/2. Le seul angle qui vérifie ces deux égalités est θ = π/3 (soit 60°). Attention : il faut vraiment utiliser le cosinus ET le sinus. Se contenter du cosinus laisserait une ambiguïté de signe sur l'angle — c'est l'erreur classique.

On obtient donc la forme trigonométrique z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)), et la forme exponentielle z = 2·e^(iπ/3).

Calculons maintenant z⁶. Sous forme algébrique, il faudrait développer (1 + i√3)⁶ : long et risqué. Sous forme exponentielle, c'est immédiat : z⁶ = 2⁶ · e^(i·6·π/3) = 64 · e^(i2π). Or e^(i2π) = 1, car un tour complet ramène au point de départ. Donc z⁶ = 64, un nombre réel. Voilà pourquoi on passe systématiquement en forme exponentielle pour les puissances.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : déterminez le module et un argument de z = 1 − i, puis écrivez le quotient 1/(1 + i) sous forme algébrique. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour z = 1 − i, le module vaut |z| = √(1² + (−1)²) = √2. Pour l'argument : cos θ = 1/√2 et sin θ = −1/√2, ce qui donne θ = −π/4. La forme exponentielle est donc z = √2 · e^(−iπ/4). Pour le quotient, on applique la technique reine : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur. 1/(1 + i) = (1 − i)/((1 + i)(1 − i)). Le dénominateur vaut (1 + i)(1 − i) = 1² + 1² = 2, en utilisant z·z̄ = |z|². Le résultat est donc (1 − i)/2, c'est-à-dire 1/2 − (1/2)i. Retenez ce réflexe : dès qu'il y a un i au dénominateur, on multiplie par le conjugué.

Les questions types au Bac

Les exercices de complexes suivent un scénario presque immuable :

• Mettre un complexe sous forme trigonométrique ou exponentielle (calcul du module, puis de l'argument).
• Calculer une puissance zⁿ en passant par la forme exponentielle et la formule de Moivre.
• Simplifier un quotient en multipliant par le conjugué du dénominateur.
• Résoudre dans ℂ une équation du second degré à discriminant négatif.
• Déterminer un ensemble de points : |z − z_A| = r donne un cercle, |z − z_A| = |z − z_B| donne une médiatrice.
• Reconnaître une rotation à partir d'une écriture du type z′ − ω = e^(iθ)(z − ω).

Les erreurs fréquentes

• Oublier que i² = −1 dans les calculs de produits.
• Se tromper de signe dans le conjugué ou l'argument.
• Confondre module (une longueur) et argument (un angle).
• Ne pas exploiter z·z̄ = |z|² pour simplifier un quotient.

Les exercices de complexes suivent souvent des schémas reconnaissables : une fois la méthode acquise, les points s'enchaînent. Pour vous entraîner avec des corrigés détaillés, réservez un cours à Fès ou en ligne.