Fonction exponentielle (2 Bac) : résumé de cours et limites

La fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Elle est omniprésente au Bac et en sciences. Voici le résumé de ses propriétés et des réflexes à avoir.

Définition et propriété fondamentale

La fonction exponentielle est définie sur ℝ tout entier et elle est toujours strictement positive : eˣ > 0 pour tout x, elle ne s'annule jamais. On retient e⁰ = 1 et e¹ = e. Sa propriété la plus remarquable est qu'elle est égale à sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ. Elle est donc strictement croissante et convexe.

Les propriétés algébriques

L'exponentielle transforme les sommes en produits — l'inverse du logarithme :

• e^(a+b) = eᵃ · eᵇ ;
• e^(a−b) = eᵃ / eᵇ ;
• e^(−a) = 1 / eᵃ ;
• (eᵃ)ⁿ = e^(n·a).

Limites et croissance comparée

En +∞, eˣ tend vers +∞ ; en −∞, eˣ tend vers 0 : l'axe des abscisses (y = 0) est une asymptote horizontale du côté négatif. Le résultat le plus important est la croissance comparée : eˣ/x tend vers +∞ en +∞. Autrement dit, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x. On retient aussi que (eˣ − 1)/x tend vers 1 quand x tend vers 0.

Dérivée composée et équations

Pour une fonction composée, (eᵘ)′ = u′·eᵘ. Par exemple, la dérivée de e^(x²) est 2x·e^(x²). Pour résoudre une équation, on utilise le fait que eᵃ = eᵇ équivaut à a = b, et eˣ = k admet la solution x = ln k lorsque k > 0 (aucune solution si k ≤ 0, puisque l'exponentielle est toujours positive).

Exemple entièrement résolu

Résolvons l'équation e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0. C'est un grand classique du Bac, et la difficulté n'est qu'apparente : il faut reconnaître un trinôme déguisé. L'astuce consiste à remarquer que e^(2x) = (eˣ)². En posant X = eˣ, l'équation devient X² − 3X + 2 = 0.

Attention à un point capital : ce changement de variable impose la contrainte X > 0, puisque l'exponentielle est toujours strictement positive. Gardez-la en tête pour la fin. Le trinôme se factorise en (X − 1)(X − 2) = 0, donc X = 1 ou X = 2. Les deux valeurs sont bien strictement positives : aucune n'est à rejeter.

Il ne reste plus qu'à revenir à x. Si X = 1, alors eˣ = 1, donc x = ln(1) = 0. Si X = 2, alors eˣ = 2, donc x = ln(2). L'équation admet donc deux solutions : x = 0 et x = ln(2) ≈ 0,69. Vérification pour x = 0 : e⁰ − 3e⁰ + 2 = 1 − 3 + 2 = 0. C'est juste.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : résolvez l'équation e^(x+1) = e^(3x−1), puis calculez la dérivée de la fonction f(x) = x·eˣ et déterminez son sens de variation sur ℝ. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour l'équation, la fonction exponentielle étant strictement croissante, eᵃ = eᵇ équivaut à a = b. On a donc x + 1 = 3x − 1, soit 2 = 2x, d'où x = 1. Aucune condition d'existence n'est nécessaire ici, puisque l'exponentielle est définie sur ℝ tout entier — c'est une différence majeure avec le logarithme. Pour la dérivée, on applique la formule du produit : f′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ. Comme eˣ est toujours strictement positif, le signe de f′ est celui de (x + 1). La fonction f est donc décroissante sur ]−∞, −1[ et croissante sur ]−1, +∞[, avec un minimum en x = −1 valant f(−1) = −1/e ≈ −0,37.

Les questions types au Bac

L'exponentielle revient chaque année sous des formes très reconnaissables :

• Résoudre une équation du type e^(2x) + a·eˣ + b = 0 par changement de variable X = eˣ (sans oublier X > 0).
• Calculer une limite avec croissance comparée : eˣ/x → +∞, ou x·eˣ → 0 en −∞.
• Dériver un produit ou une composée du type x·eˣ, e^(u(x)), et étudier le signe (rappel : eᵘ est toujours positif, seul le reste compte).
• Étudier une fonction contenant une exponentielle et montrer l'existence d'une asymptote horizontale y = 0 en −∞.
• Reconnaître une primitive de la forme u′·eᵘ, dont une primitive est eᵘ.

Les erreurs fréquentes

• Chercher une solution à eˣ = k avec k négatif ou nul (impossible).
• Oublier le facteur u′ dans la dérivée de eᵘ.
• Écrire e^(a+b) = eᵃ + eᵇ : c'est FAUX (c'est un produit).
• Confondre les limites en +∞ et en −∞.

Bien comprendre l'exponentielle, c'est aussi mieux comprendre le logarithme, son symétrique. Pour vous entraîner avec une fiche de synthèse et des exercices corrigés, réservez un cours personnalisé, à Fès ou en ligne.