Fonction logarithme népérien (2 Bac) : cours résumé et propriétés

La fonction logarithme népérien, notée ln, est incontournable au 2 Bac. Elle intervient dans les limites, les équations, les études de fonctions et le calcul de primitives. Voici l'essentiel à retenir.

Définition et premières propriétés

La fonction ln est définie sur l'intervalle ]0, +∞[ : on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif. C'est la primitive de 1/x qui s'annule en 1. On retient deux valeurs clés : ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e ≈ 2,718. La fonction ln est strictement croissante, ce qui est très utile pour résoudre des inéquations.

Les propriétés algébriques

Ce sont elles qui font toute la puissance du logarithme : il transforme les produits en sommes.

• ln(a·b) = ln a + ln b ;
• ln(a/b) = ln a − ln b ;
• ln(aⁿ) = n·ln a ;
• ln(√a) = (1/2)·ln a.

Limites et dérivée

En 0 (par valeurs positives), ln(x) tend vers −∞ : l'axe des ordonnées est une asymptote verticale. En +∞, ln(x) tend vers +∞, mais lentement — la limite de ln(x)/x en +∞ vaut 0 (croissance comparée). Côté dérivation, (ln x)′ = 1/x, et pour une fonction composée, (ln u)′ = u′/u. Cette dernière formule est essentielle pour reconnaître des primitives de la forme u′/u.

Résoudre les équations avec ln

Puisque ln est strictement croissante, on a ln a = ln b si et seulement si a = b, et ln a < ln b si et seulement si a < b (avec a et b strictement positifs). Le réflexe à ne jamais oublier : commencer par poser la condition d'existence — l'argument du logarithme doit être strictement positif — avant de résoudre.

Exemple entièrement résolu

Résolvons l'équation ln(x) + ln(x − 2) = ln(3). Première étape, toujours : la condition d'existence. Il faut x > 0 et x − 2 > 0, donc l'équation n'a de sens que pour x > 2. Retenez bien cette contrainte, c'est elle qui va départager les solutions à la fin.

Deuxième étape : on utilise la propriété du produit pour regrouper le membre de gauche. ln(x) + ln(x − 2) = ln(x(x − 2)). L'équation devient ln(x(x − 2)) = ln(3). Comme la fonction ln est strictement croissante, on peut « enlever les ln » des deux côtés : x(x − 2) = 3, soit x² − 2x − 3 = 0.

Troisième étape : on résout ce trinôme. Il se factorise en (x − 3)(x + 1) = 0, ce qui donne x = 3 ou x = −1. Dernière étape, la plus souvent oubliée : on confronte à la condition d'existence x > 2. La valeur x = −1 est à rejeter, car ln(−1) n'existe pas. La seule solution est donc x = 3. Vérification rapide : ln(3) + ln(1) = ln(3) + 0 = ln(3). C'est bien correct.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : résolvez l'équation ln(2x − 1) = ln(x + 3), puis calculez la dérivée de la fonction f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour l'équation, la condition d'existence impose 2x − 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > 1/2. Par stricte croissance de ln, on obtient 2x − 1 = x + 3, donc x = 4. Comme 4 > 1/2, la solution est acceptée : x = 4. Pour la dérivée, on applique la formule de la composée (ln u)′ = u′/u avec u = x² + 1 et u′ = 2x. On obtient f′(x) = 2x/(x² + 1). Remarquez que x² + 1 est toujours strictement positif : la fonction est bien définie et dérivable sur ℝ tout entier, et le signe de f′ est celui de x.

Les questions types au Bac

Ce chapitre revient sous des formes très prévisibles. Sachez reconnaître ces cinq questions :

• Déterminer le domaine de définition d'une fonction contenant un ln (résoudre une inéquation).
• Calculer une limite en 0⁺ ou en +∞, souvent en invoquant la croissance comparée ln(x)/x → 0.
• Dériver une fonction de la forme ln(u) et étudier le signe de la dérivée.
• Résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes (sans oublier la condition d'existence).
• Reconnaître une primitive de la forme u′/u, dont une primitive est ln|u|.

Les erreurs fréquentes

• Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : c'est FAUX (la propriété concerne le produit, pas la somme).
• Oublier la condition d'existence (argument strictement positif).
• Confondre la courbe de ln, qui croît lentement, avec une droite.
• Oublier le u′ dans la dérivée de ln(u).

Le logarithme et l'exponentielle sont deux fonctions réciproques, dont les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Pour maîtriser ce chapitre avec des exercices corrigés et une fiche de synthèse, réservez un cours à Fès ou en ligne.