Calcul intégral (2 Bac) : résumé de cours et méthodes

Le calcul intégral clôt le programme d'analyse du 2 Bac et rassemble tout ce qui précède : limites, dérivées et primitives. C'est aussi un chapitre très rentable, car les questions y sont souvent techniques mais guidées. Voici l'essentiel, avec les méthodes et des exemples résolus.

Le lien fondamental entre intégrale et primitive

Tout le chapitre repose sur une seule idée : si F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b, alors l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). On la note souvent [F(x)] entre a et b. Autrement dit, calculer une intégrale revient toujours à chercher une primitive puis à évaluer sa variation entre les deux bornes. Rappel essentiel : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

L'interprétation géométrique : une aire

Si f est positive et continue sur [a, b], l'intégrale de f entre a et b représente l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. Attention : si f est négative, l'intégrale est négative — ce n'est plus directement une aire. Pour obtenir une aire dans ce cas, on intègre la valeur absolue de f, ou on découpe l'intervalle selon le signe de f. Pour l'aire entre deux courbes f et g avec f au-dessus de g, on intègre la différence f − g.

Les propriétés à connaître

• Linéarité : l'intégrale de (αf + βg) est égale à α fois l'intégrale de f plus β fois celle de g.
• Relation de Chasles : l'intégrale de a à b, plus celle de b à c, donne celle de a à c.
• Inversion des bornes : l'intégrale de a à b vaut l'opposé de l'intégrale de b à a.
• Positivité : si f est positive sur [a, b] avec a < b, alors son intégrale est positive.
• Comparaison : si f ≤ g sur [a, b], alors l'intégrale de f est inférieure à celle de g.

La valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction f sur [a, b] est définie comme l'intégrale de f entre a et b, divisée par (b − a). Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base [a, b] qui aurait la même aire que la région sous la courbe. C'est une question classique en fin d'exercice.

L'intégration par parties (IPP)

Quand l'intégrande est un produit qu'on ne sait pas primitiver directement, on utilise l'intégration par parties : l'intégrale de u′v est égale à [uv] entre les bornes, moins l'intégrale de uv′. Toute la difficulté consiste à bien choisir u′ et v. La règle pratique : choisissez pour v la partie qui se simplifie en dérivant (typiquement x, x², ou ln x), et pour u′ la partie qu'on sait facilement primitiver (typiquement eˣ, sin x, cos x).

Trois exemples résolus

Premier exemple, un calcul direct : l'intégrale de x² entre 0 et 1. Une primitive de x² est x³/3. On évalue : 1³/3 − 0³/3 = 1/3. Le résultat est donc 1/3.

Deuxième exemple, une forme composée : l'intégrale de 2x/(x² + 1). On reconnaît la forme u′/u avec u = x² + 1, dont une primitive est ln|u|. Une primitive est donc ln(x² + 1), qu'il suffit d'évaluer entre les bornes. Reconnaître les formes u′/u, u′eᵘ et u′uⁿ fait gagner un temps considérable.

Troisième exemple, une IPP : l'intégrale de x·eˣ entre 0 et 1. On pose v = x (qui se dérive en 1) et u′ = eˣ (qui se primitive en eˣ). La formule donne [x·eˣ] entre 0 et 1, moins l'intégrale de eˣ entre 0 et 1, soit (1·e − 0) − (e − 1) = 1. Le résultat vaut 1.

Les erreurs fréquentes

• Confondre intégrale et aire quand la fonction change de signe sur l'intervalle.
• Oublier d'évaluer la primitive aux deux bornes (et faire F(b) sans retirer F(a)).
• Se tromper de signe en appliquant l'intégration par parties.
• Mal choisir u′ et v dans une IPP, ce qui complique l'intégrale au lieu de la simplifier.
• Ne pas vérifier la continuité de f sur l'intervalle d'intégration.

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