Limites : comment lever une forme indéterminée

Le calcul d'une limite débouche souvent sur une expression du type 0/0, ∞/∞ ou ∞−∞ : ce sont les formes indéterminées. Elles ne signifient pas que la limite n'existe pas, mais que la forme actuelle ne permet pas de conclure. Il faut alors transformer l'expression. Voici les techniques qui reviennent le plus souvent au Bac.

Reconnaître une forme indéterminée

Avant de te lancer, identifie précisément la forme obtenue en remplaçant. Les quatre indéterminations classiques sont 0/0, ∞/∞, ∞−∞ et 0×∞. Toute autre situation (par exemple 3/0 avec un signe constant, ou 5/∞) se conclut directement. Nommer la forme indéterminée sur ta copie montre au correcteur que tu sais où se situe la difficulté.

• 0/0 et ∞/∞ : typiques des fonctions rationnelles et des taux d'accroissement.
• ∞−∞ : différences de racines ou de logarithmes.
• 0×∞ : produits que l'on réécrit sous forme de quotient.

Factoriser par le terme dominant

Pour une fonction rationnelle (quotient de polynômes) en +∞ ou −∞, la méthode reine est de factoriser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de x, puis de simplifier. Les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0 et l'indétermination disparaît. Retiens qu'à l'infini, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

• Factorise en haut et en bas par la plus grande puissance de x.
• Simplifie, puis fais tendre les termes en 1/xⁿ vers 0.
• Vérifie le signe pour trancher entre +∞ et −∞.

Utiliser la quantité conjuguée

Face à une différence contenant une racine carrée (forme ∞−∞), multiplie et divise par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine au numérateur. L'expression √(x²+1)−x, par exemple, se transforme ainsi en une fraction dont la limite se calcule sans peine. C'est une technique quasi automatique dès qu'on voit une soustraction avec un radical.

Se ramener à une limite connue

Certaines limites ne se calculent pas par manipulation algébrique mais en reconnaissant une limite de référence. Les plus utiles au Bac sont celles du taux d'accroissement (comme sin(x)/x qui tend vers 1 en 0) et les croissances comparées, où l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, elle-même l'emportant sur le logarithme.

• Croissances comparées : eˣ écrase xⁿ, qui écrase ln(x).
• Taux d'accroissement : reconnais la dérivée d'une fonction connue.
• En cas de doute, reviens à la définition du nombre dérivé.