Probabilité conditionnelle et arbre pondéré : la méthode

L'exercice de probabilités du Bac est souvent l'un des plus accessibles, à condition d'organiser l'information. L'outil central est l'arbre pondéré : bien construit, il donne presque automatiquement les probabilités demandées. Encore faut-il comprendre la notion de probabilité conditionnelle qui le sous-tend.

Ce qu'est une probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée p_A(B), est la probabilité que B se réalise une fois que l'on sait A réalisé. Elle se calcule par p_A(B) = p(A∩B)/p(A), à condition que p(A) ne soit pas nul. Intuitivement, on « se place dans le monde où A est vrai » et on y mesure la chance de B.

Construire un arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1. La probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin. C'est cette règle du produit qui rend l'arbre si efficace.

• La somme des branches partant d'un même nœud vaut 1.
• On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
• Les branches de second niveau sont des probabilités conditionnelles.

La formule des probabilités totales

Quand un événement peut se produire par plusieurs chemins, sa probabilité est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent : c'est la formule des probabilités totales. Sur l'arbre, il suffit d'additionner les produits de chaque chemin aboutissant à l'événement voulu. C'est souvent la question centrale de l'exercice.

• Repère tous les chemins menant à l'événement.
• Calcule le produit sur chaque chemin, puis additionne.
• Vérifie que la somme des cas possibles vaut bien 1.

Indépendance : à ne pas confondre

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : on a alors p(A∩B) = p(A)×p(B). Attention à ne pas confondre indépendants et incompatibles : deux événements incompatibles, qui ne peuvent se produire ensemble, ne sont en général pas indépendants. Vérifie toujours l'indépendance par le calcul plutôt que par intuition.