Le dénombrement (1ʳᵉ Bac SM) : résumé de cours

Le dénombrement a une réputation trompeuse : le cours tient en une page, mais les exercices déroutent parce que tout se joue sur le choix de la bonne formule. Voici l'essentiel, organisé autour de deux questions qui débloquent presque tous les exercices.

Les deux principes de base

Tout le dénombrement repose sur deux principes. Le principe additif : si un choix se fait soit d'une façon (a possibilités) soit d'une autre (b possibilités), sans recoupement, il y a a + b possibilités — c'est le « ou ». Le principe multiplicatif : si un choix se fait en deux étapes successives (a possibilités puis b), il y a a × b possibilités — c'est le « et ».

Les p-listes (avec ordre et répétition)

Une p-liste d'un ensemble à n éléments est un tirage de p éléments où l'ordre compte et où l'on peut répéter un élément. Leur nombre est nᵖ. On les rencontre par exemple pour compter les codes, les mots, ou les tirages successifs avec remise.

Arrangements et permutations (avec ordre, sans répétition)

Un arrangement de p éléments parmi n est un tirage ordonné sans répétition ; leur nombre est A(n, p) = n! / (n − p)!. Quand on prend tous les éléments (p = n), on parle de permutations, et leur nombre est n! (factorielle de n). On les utilise pour les classements, les places, les tirages successifs sans remise.

Les combinaisons (sans ordre, sans répétition)

Une combinaison de p éléments parmi n est un choix non ordonné et sans répétition ; leur nombre est C(n, p) = n! / (p! (n − p)!). Deux propriétés à connaître : la symétrie C(n, p) = C(n, n − p), et la relation de Pascal C(n, p) = C(n − 1, p − 1) + C(n − 1, p), qui construit le triangle de Pascal.

Comment choisir la bonne formule

Face à un exercice, posez-vous deux questions dans l'ordre. Premièrement : l'ordre du tirage compte-t-il ? Si non, ce sont des combinaisons C(n, p). Si oui, deuxièmement : peut-on répéter un élément ? Si oui, ce sont des p-listes nᵖ ; si non, ce sont des arrangements A(n, p). Ce petit arbre de décision résout la grande majorité des exercices.

Un exemple résolu

Dans une classe de 30 élèves, on veut former un comité de 3 personnes. L'ordre ne compte pas (un comité {A, B, C} est le même quel que soit l'ordre) et sans répétition : c'est donc une combinaison. Le nombre de comités possibles est C(30, 3) = (30 × 29 × 28) / (3 × 2 × 1) = 4060.