Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

Le dénombrement apprend à compter sans énumérer, compétence clé pour les probabilités à venir. Cette fiche réunit les principes additif et multiplicatif, les p-listes, les arrangements, les permutations, les combinaisons et la formule du binôme de Newton. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, tout l'enjeu est de choisir le bon modèle : deux questions suffisent, l'ordre compte-t-il et peut-on répéter. Le réflexe de langage : « et » on multiplie, « ou » (disjoint) on additionne.

n!
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Dénombrement — Listes, arrangements, combinaisons, binôme

Math Excellence
1 · Les modèles de comptage
Principe multiplicatif
\(n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\)
\(p\) étapes successives (« et »)
Principe additif
\(\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}A+\mathrm{Card}B\)
cas disjoints (« ou »)
\(p\)-liste
\(n^{\,p}\)
ordre + répétition
Arrangement
\(A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
ordre, sans répétition
Permutation
\(A_n^n=n!\)
tout ranger · \(0!=1\)
Combinaison
\(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)
ni ordre ni répétition
2 · Combinaisons & binôme de Newton
Propriétés des combinaisons
  • \(C_n^0=C_n^n=1,\quad C_n^1=n\)
  • symétrie : \(C_n^p=C_n^{\,n-p}\)
Relation de Pascal
  • \(C_n^p+C_n^{\,p+1}=C_{n+1}^{\,p+1}\)
  • triangle de Pascal : chaque terme = somme des deux au-dessus
Formule du binôme
  • \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^{n}C_n^p\,a^{\,n-p}b^{\,p}\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
Deux sommes clés
  • \(a=b=1\) : \(\displaystyle\sum_{p=0}^{n}C_n^p=2^n\) (nombre de parties)
  • \(a=1,b=-1\) : \(\displaystyle\sum_{p=0}^{n}(-1)^pC_n^p=0\)
3 · Formules & réflexes
« et » \(\to\times\) · « ou » \(\to+\)
\(p\)-liste : \(n^{\,p}\)
\(A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
permutation : \(n!\), \(0!=1\)
\(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)
\(C_n^p=C_n^{\,n-p}\)
Pascal : \(C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}\)
\(\sum C_n^p=2^n\)
4 · Choisir le bon modèle
Les deux questions qui décident
  • 1. L'ordre compte-t-il ?
  • 2. Peut-on répéter un élément ?
Astuce : ordre + répétition → \(n^p\) ; ordre seul → \(A_n^p\) ; ni l'un ni l'autre → \(C_n^p\).
Tirages de \(p\) boules
  • successif avec remise : \(p\)-liste \(n^p\)
  • successif sans remise : arrangement \(A_n^p\)
  • simultané : combinaison \(C_n^p\)
Bureau ou comité ?
  • rôles ordonnés (président, adjoint) : arrangement
  • simple sous-ensemble (comité) : combinaison
Développer une puissance
  • appliquer le binôme, coefficients = ligne de Pascal
\((x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16\)
★ Astuces géniales
  • Deux réflexes de langage : « et » on multiplie, « ou » (disjoint) on additionne.
  • Avant tout calcul, deux questions : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter ? — elles fixent le modèle.
  • Tirage simultané = combinaison ; successif sans remise = arrangement ; avec remise = \(p\)-liste.
  • \(A_n^p\) et \(C_n^p\) prennent les mêmes éléments ; l'ordre les sépare : \(C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}\).
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · anassmaths.com