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L'arithmétique dans ℤ est un chapitre où la démonstration prime sur le calcul, très caractéristique du programme Sciences Maths. Cette fiche réunit la divisibilité, la division euclidienne, le PGCD et l'algorithme d'Euclide, les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers et les congruences. En 1ʳᵉ Bac SM, la règle reine est qu'un diviseur commun de a et b divise toute combinaison au + bv. Le réflexe qui débloque les puissances énormes : travailler modulo n en remplaçant chaque nombre par son reste.

ℤ
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) — Divisibilité, PGCD, premiers, congruences

Math Excellence
1 · Divisibilité & division euclidienne
Divise
\(a\mid b\iff\exists k\in\mathbb{Z},\ b=ak\)
\(b\) multiple de \(a\)
Combinaison linéaire
\(d\mid a,\ d\mid b\Rightarrow d\mid(au+bv)\)
la règle reine
Division euclidienne
\(a=bq+r,\ 0\le r<b\)
couple \((q,r)\) unique
\(b\) divise \(a\)
reste \(r=0\)
\(b\mid a\iff r=0\)
PGCD
\(\mathrm{pgcd}(a,b)=a\wedge b\)
plus grand diviseur commun
PPCM
\(\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm}=a\times b\)
relation fondamentale
2 · PGCD, PPCM & décomposition
Algorithme d'Euclide
  • \(\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(b,r)\)
  • remplacer \((a,b)\) par \((b,r)\), recommencer
  • dernier reste non nul = PGCD
\(\mathrm{pgcd}(1071,462)=21\)
Premiers entre eux
  • \(\mathrm{pgcd}(a,b)=1\)
  • \(d=\mathrm{pgcd}(a,b)\) : \(a=da',\ b=db'\) avec \(a'\wedge b'=1\)
Astuce : \(\frac ab\) irréductible \(\iff a\) et \(b\) premiers entre eux.
Décomposition en facteurs premiers
  • \(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\), unique à l'ordre près
\(360=2^3\times3^2\times5\)
Lire sur la décomposition
  • PGCD : exposant min ; PPCM : exposant max
  • nombre de diviseurs : \((\alpha_1+1)\cdots(\alpha_k+1)\)
\(360\) a \(4\times3\times2=24\) diviseurs
3 · Formules & réflexes
\(a\mid b\iff\exists k,\ b=ak\)
\(d\mid a,\,d\mid b\Rightarrow d\mid(au+bv)\)
\(a=bq+r,\ 0\le r<b\)
Euclide : dernier reste non nul
\(\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm}=ab\)
premier : exactement 2 diviseurs
tester par les premiers \(p\le\sqrt n\)
\(a\equiv b\ [n]\iff n\mid(a-b)\)
4 · Nombres premiers & congruences
Test de primalité
  • si aucun premier \(p\le\sqrt n\) ne divise \(n\), alors \(n\) est premier
\(211\) : tester \(2,3,5,7,11,13\) → premier
Congruences modulo \(n\)
  • \(a\equiv b\ [n]\iff n\mid(a-b)\iff\) même reste
  • compatibles avec \(+,\ \times,\) et les puissances
Le super-pouvoir des congruences
  • remplacer un nombre par son reste avant de calculer
  • chercher un cycle des puissances
\(7^{100}\equiv2^{100}\equiv1\ [5]\) : reste \(1\)
Disjonction & critères
  • « pour tout \(n\) » : discuter selon le reste (\(b\) cas)
  • divisible par \(3\) ou \(9\) : somme des chiffres
Astuce : \(n(n+1)(n+2)\) divisible par \(6\) — reste modulo \(2\) et \(3\).
★ Astuces géniales
  • Règle reine : si \(d\) divise \(a\) et \(b\), il divise toute combinaison \(au+bv\) — souvent la différence.
  • Euclide : \(\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(b,r)\) ; le dernier reste non nul est le PGCD.
  • Une puissance énorme modulo \(n\) : remplacer la base par son reste, repérer le cycle.
  • Prouver « divisible pour tout \(n\) » : discuter selon le reste (seulement \(b\) cas à traiter).
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