Fiche de révision — Vecteurs de l'espace · 1ʳᵉ Bac SM

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Les vecteurs de l'espace prolongent en trois dimensions le calcul vectoriel du plan. Cette fiche réunit la relation de Chasles, la colinéarité, la coplanarité, la définition vectorielle d'une droite et d'un plan, et la notion de base de l'espace. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, tout le calcul du plan reste valable ; la nouveauté est la coplanarité, qui distingue « pas de vraie 3D » d'une vraie base. Le résultat structurant : trois vecteurs non coplanaires forment une base, dans laquelle tout vecteur s'écrit de façon unique.

u⃗

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Vecteurs de l'espace — Colinéarité, coplanarité, bases

Math Excellence

1 · Vecteurs & sous-espaces

Vecteur

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

direction, sens, norme

Relation de Chasles

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

comme dans le plan

Colinéarité

\(\vec v=k\,\vec u\)

même direction

Droite

\(\overrightarrow{AM}=t\,\vec u\)

point + directeur

Plan

\(\overrightarrow{AM}=t\,\vec u+s\,\vec v\)

\(\vec u,\vec v\) non colinéaires

Base de l'espace

\(\vec w=a\vec u+b\vec v+c\vec t\)

3 vect. non coplanaires

2 · Colinéarité & coplanarité

Alignement & parallélisme

\(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) colinéaires
\((AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\) colinéaires

Vecteurs coplanaires

\(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\vec w=a\vec u+b\vec v\)
(avec \(\vec u,\vec v\) non colinéaires)

Idée : coplanaires = ils « tiennent » dans un même plan.

Points coplanaires

\(A,B,C,D\) coplanaires \(\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) coplanaires
\(\iff\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\)

Base de l'espace

3 vecteurs non coplanaires forment une base
tout vecteur s'écrit alors de façon unique

3 · Formules & réflexes

Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

colinéaires : \(\vec v=k\vec u\)

alignés : \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) colinéaires

droite : \(\overrightarrow{AM}=t\vec u\)

plan : \(\overrightarrow{AM}=t\vec u+s\vec v\)

coplanaires : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\)

base : 3 vect. non coplanaires

milieu \(I\) : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\)

4 · Méthodes types

Montrer un alignement

exprimer \(\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\)

Montrer que 4 points sont coplanaires

écrire \(\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\)

Décomposer un vecteur

dans une base \((\vec u,\vec v,\vec t)\), identifier les coefficients
outils : Chasles + milieux

Exploiter les milieux

\(I\) milieu \(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\)

tétraèdre : \(\overrightarrow{IJ}=\tfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})\)

★ Astuces géniales

Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
Colinéaires → droite ; coplanaires → « pas de vraie 3D » (un même plan les contient).
Trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur s'y écrit de façon unique.
Un milieu se traduit par \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\) — le réflexe qui simplifie les sommes.

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