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La géométrie analytique de l'espace traduit droites et plans en coordonnées et en équations. Cette fiche réunit les coordonnées d'un point et d'un vecteur, le déterminant de trois vecteurs, les représentations paramétriques, l'équation cartésienne d'un plan et les positions relatives. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, le déterminant est le test de « vraie 3D » : nul, les vecteurs sont coplanaires ; non nul, ils forment une base. Le réflexe pour une intersection droite-plan : reporter la paramétrisation dans l'équation et compter les solutions.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Géométrie analytique de l'espace — Déterminant, droites, plans

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1 · Coordonnées & déterminant
Coordonnées
\(\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\)
\(M(x,y,z)\)
Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
\((x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\)
coordonnée par coordonnée
Milieu de \([AB]\)
\(\big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2,\tfrac{z_A+z_B}2\big)\)
moyenne des coordonnées
Déterminant \(2\times2\)
\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)
brique de base
Colinéarité
coordonnées proportionnelles
3 dét. \(2\times2\) nuls
Coplanarité
\(\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0\)
\(\neq0\) : base de l'espace
2 · Droites & plans
Droite paramétrique
  • \(\begin{cases}x=x_A+t\,a\\ y=y_A+t\,b\\ z=z_A+t\,c\end{cases}\)
  • point \(A\) + vecteur directeur \(\vec u(a,b,c)\)
Plan — deux formes
  • paramétrique : point + deux vecteurs non colinéaires
  • cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\)
Droite = deux plans
  • \(\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\)
  • intersection de deux plans sécants
Déterminant, test de « vraie 3D »
  • \(\det=0\) : coplanaires ; \(\det\neq0\) : base
Astuce : 4 points coplanaires \(\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0\).
3 · Formules & réflexes
\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\dots)\)
milieu = moyenne des coordonnées
\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)
colinéaires : coords proportionnelles
\(\det=0\) : coplanaires
\(\det\neq0\) : base
droite : \(x=x_A+ta,\dots\)
plan : \(ax+by+cz+d=0\)
4 · Positions relatives
Deux droites
  • \(\vec u,\vec u'\) colinéaires : parallèles
  • sinon : sécantes (si coplanaires) ou gauches
Deux plans
  • \((a,b,c)\) proportionnels : parallèles
  • sinon : sécants selon une droite
Droite & plan
  • reporter la paramétrisation dans l'équation
  • 1 sol → sécante ; 0 → parallèle ; \(\infty\) → incluse
Tester 4 points
  • calculer \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\)
  • nul \(\Rightarrow\) coplanaires
★ Astuces géniales
  • Tout se calcule coordonnée par coordonnée (vecteur \(\overrightarrow{AB}\), milieu).
  • Le déterminant est le test de « vraie 3D » : nul → coplanaires, non nul → base.
  • Position droite/plan : reporter la paramétrisation dans l'équation, puis compter les solutions.
  • Une droite de l'espace = paramétrique OU intersection de deux plans.
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