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Le produit scalaire et le produit vectoriel dans l'espace donnent les outils numériques et géométriques de la 3D. Cette fiche réunit l'expression analytique du produit scalaire, l'orthogonalité, le vecteur normal d'un plan, la distance d'un point à un plan, la sphère et le produit vectoriel avec ses aires. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, il faut choisir le bon outil : le scalaire donne un nombre (angles, distances), le vectoriel donne un vecteur (normale, aires). Le réflexe : dans ax + by + cz + d = 0, on lit directement le vecteur normal de coordonnées (a, b, c).

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Produit scalaire & vectoriel dans l'espace — Plans, sphère, aires

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1 · Produit scalaire & produit vectoriel
Produit scalaire
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\)
un nombre
Norme & distance
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(AB=\|\overrightarrow{AB}\|\)
Orthogonalité
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
angle droit
Produit vectoriel
\(\vec u\wedge\vec v\perp\vec u,\ \vec v\)
un vecteur
Analytique \(\vec u\wedge\vec v\)
\((yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')\)
base orthonormée directe
Nul \(\iff\) colinéaires
\(\vec u\wedge\vec v=\vec0\)
\(\vec u,\vec v\) colinéaires
2 · Plan, normale & distance
Vecteur normal
  • \(\vec n\neq\vec0\) orthogonal à tout vecteur du plan
  • les coefficients \((a,b,c)\) sont la normale
Équation d'un plan
  • \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\Rightarrow ax+by+cz+d=0\)
  • normale via \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\)
Distance point-plan
  • \(d(M,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Astuce : \(d=0\iff M\in(P)\).
Deux plans
  • normales colinéaires : plans parallèles
  • normales orthogonales : plans perpendiculaires
3 · Formules & réflexes
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\)
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
\(\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\dots)\)
\(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\) colinéaires
plan : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a,b,c)\)
\(d(M,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
4 · Sphère, aires & choix d'outil
Sphère
  • \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
  • centre \(\Omega(a,b,c)\), rayon \(R\)
Sphère \(\cap\) plan
  • poser \(d=d(\Omega,P)\)
  • \(d<R\) : cercle \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) ; \(d=R\) : tangent ; \(d>R\) : vide
Aires par le produit vectoriel
  • parallélogramme : \(\|\vec u\wedge\vec v\|\)
  • triangle : \(\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
Scalaire ou vectoriel ?
  • scalaire (nombre) : angles, \(\perp\), distances
  • vectoriel (vecteur) : normale, colinéarité, aires
★ Astuces géniales
  • Dans \(ax+by+cz+d=0\), on lit directement la normale \(\vec n(a,b,c)\).
  • Produit scalaire → un nombre (angles, orthogonalité, distances) ; produit vectoriel → un vecteur (normale, colinéarité, aires).
  • Un vecteur normal à \((ABC)\) se fabrique par \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).
  • Sphère \(\cap\) plan : comparer \(d(\Omega,P)\) à \(R\) — cercle, tangence ou vide.
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