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Les polynômes constituent un chapitre algébrique riche et très présent dans les sujets de Sciences Maths. Cette fiche réunit le degré, les racines, la factorisation par (x − α), la division euclidienne, le schéma de Horner et l'étude du trinôme du second degré. En 1ʳᵉ Bac SM, le théorème reine est que P(α) = 0 équivaut à ce que (x − α) divise P : une racine trouvée, c'est un degré de moins. Le réflexe malin pour un reste modulo un polynôme scindé : évaluer en ses racines plutôt que poser la division.

P(x)
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Polynômes — Racines, division, Horner, trinôme

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1 · Degré, racines & division
Polynôme
\(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\)
degré \(n\) si \(a_n\neq0\)
Degré
\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)
\(\deg(P+Q)\le\max\)
Racine (théorème-clé)
\(P(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P\)
un facteur, un degré de moins
Nombre de racines
au plus \(n\)
plus de \(n\) zéros \(\Rightarrow\) nul
Division euclidienne
\(A=BQ+R,\ \deg R<\deg B\)
couple \((Q,R)\) unique
Identification
mêmes coefficients
identité \(\to\) système
2 · Horner & reste
Schéma de Horner
  • diviser par \((x-\alpha)\) en une seule ligne
  • recopier \(a_n\), puis \(\times\alpha\) et ajouter le suivant
dernière case \(=P(\alpha)=\) reste
Deux usages pour le prix d'un
  • Horner factorise et évalue en même temps
  • façon la plus rapide de calculer \(P(\alpha)\)
Chercher une racine évidente
  • tester \(0,\ \pm1,\ \pm2,\dots\) (diviseurs du terme constant)
  • une racine \(\to\) un facteur \((x-\alpha)\)
Reste par évaluation
  • \(B\) scindé : évaluer en ses racines
  • reste modulo \((x^2-1)\) : \(R=\alpha x+\beta\) via \(A(1),A(-1)\)
Astuce : bien plus rapide que la division posée.
3 · Formules & réflexes
\(P(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P\)
\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)
au plus \(n\) racines
\(A=BQ+R,\ \deg R<\deg B\)
Horner : dernière case \(=P(\alpha)\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1+x_2=-\tfrac ba\), \(x_1x_2=\tfrac ca\)
signe de \(a\) sauf entre les racines
4 · Trinôme du second degré
Discriminant \(\Delta=b^2-4ac\)
  • \(\Delta>0\) : deux racines ; \(\Delta=0\) : racine double
  • \(\Delta<0\) : aucune racine réelle
Racines & factorisation
  • \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
  • \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Somme & produit
  • \(x_1+x_2=-\dfrac ba,\quad x_1x_2=\dfrac ca\)
  • retrouver des racines de tête
Signe du trinôme
  • du signe de \(a\), sauf entre les racines
  • \(\Delta<0\) : signe de \(a\) sur tout \(\mathbb{R}\)
★ Astuces géniales
  • Théorème reine : \(P(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P\) — une racine trouvée, c'est un degré de moins.
  • Horner factorise et évalue d'un coup ; la dernière case vaut \(P(\alpha)\).
  • Pour un reste modulo un \(B\) scindé, évaluer en les racines de \(B\) — sans division posée.
  • Trinôme : \(\Delta=b^2-4ac\), somme \(-\tfrac ba\), produit \(\tfrac ca\), signe de \(a\) hors des racines.
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