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L'étude des fonctions rassemble en une démarche complète tout ce que l'on a appris sur les limites et la dérivation. Cette fiche réunit les asymptotes (verticale, horizontale, oblique), les branches paraboliques, la concavité via f″, les points d'inflexion et les symétries de la courbe. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, le plan d'étude est toujours le même : domaine, symétries, limites, variations, concavité, tracé. Le point à ne pas confondre : un extremum concerne f′, un point d'inflexion concerne f″.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Étude des fonctions — Asymptotes, concavité, symétries

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1 · Branches infinies & concavité
Asymptote verticale
\(x=a\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty\)
Asymptote horizontale
\(y=\ell\)
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell\)
Asymptote oblique
\(y=ax+b\)
\(f(x)-(ax+b)\to0\)
Branche parabolique
\(\dfrac{f(x)}x\to\pm\infty\)
direction \((Oy)\)
Convexe
\(f''\ge0\)
au-dessus des tangentes
Concave
\(f''\le0\)
au-dessous des tangentes
2 · Asymptote oblique & inflexion
Trouver l'asymptote oblique
  • \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\) (réel non nul)
  • \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-ax\big]\) (fini)
\(f=x+\tfrac1x\Rightarrow y=x\) asymptote
Branches paraboliques
  • \(\dfrac fx\to\pm\infty\) : direction \((Oy)\)
  • \(\dfrac fx\to a\) mais \(f-ax\to\pm\infty\) : direction \(y=ax\)
Concavité
  • signe de \(f''\) : \(\ge0\) convexe, \(\le0\) concave
Point d'inflexion
  • \(f''\) change de signe (s'annule)
  • la courbe traverse sa tangente
Piège : extremum \(\neq\) inflexion (\(f'\) vs \(f''\)).
3 · Formules & réflexes
\(x=a\) : \(\lim f=\pm\infty\)
\(y=\ell\) : \(\lim_{\pm\infty}f=\ell\)
oblique : \(f-(ax+b)\to0\)
\(a=\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x\)
\(f''\ge0\) convexe
\(f''\le0\) concave
inflexion : \(f''\) change de signe
extremum : \(f'=0\) · inflexion : \(f''=0\)
4 · Symétries & plan d'étude
Axe de symétrie \(x=a\)
  • \(f(2a-x)=f(x)\)
  • cas \(a=0\) : fonction paire
Centre de symétrie \(\Omega(a,b)\)
  • \(f(2a-x)+f(x)=2b\)
  • cas \(\Omega=O\) : fonction impaire
Exploiter la symétrie
  • étudier \(f\) sur la moitié du domaine
  • compléter la courbe par symétrie
Plan d'étude complet
  • domaine → symétries → limites & asymptotes
  • → \(f'\) : variations → \(f''\) : concavité → courbe
★ Astuces géniales
  • Oblique : d'abord \(a=\lim\dfrac fx\), puis \(b=\lim(f-ax)\) — deux limites, dans l'ordre.
  • Ne pas confondre extremum (\(f'\) change de signe) et inflexion (\(f''\) change de signe).
  • Un axe ou un centre de symétrie divise le travail par deux.
  • Le plan d'étude est toujours le même : domaine → symétries → limites → \(f'\) → \(f''\) → tracé.
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