Notions de logique (1ʳᵉ Bac SM) : résumé de cours

Le chapitre des notions de logique ouvre le programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, et c'est l'un des plus importants : il donne le langage et les règles de raisonnement qui serviront dans toutes les démonstrations de l'année. Voici l'essentiel à maîtriser.

Propositions et connecteurs

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux — jamais les deux. À partir de propositions P et Q, on en construit d'autres avec les connecteurs logiques.

• La négation « non P » (notée ¬P) est vraie exactement quand P est fausse.
• La conjonction « P et Q » est vraie seulement si P et Q sont vraies toutes les deux.
• La disjonction « P ou Q » est vraie dès que l'une au moins des deux est vraie.
• L'implication « P ⇒ Q » n'est fausse que dans un seul cas : P vraie et Q fausse.
• L'équivalence « P ⇔ Q » signifie que P et Q ont toujours la même valeur de vérité.

Les quantificateurs

Deux symboles reviennent partout : ∀ (« pour tout ») et ∃ (« il existe »). Le point délicat est leur négation. La négation de « ∀x, P(x) » est « ∃x, ¬P(x) », et la négation de « ∃x, P(x) » est « ∀x, ¬P(x) ». Autrement dit, nier un « pour tout » revient à exhiber un contre-exemple. Attention aussi à l'ordre : « ∀x, ∃y » et « ∃y, ∀x » ne disent pas la même chose.

Les grands types de raisonnement

• Le raisonnement par contraposée : pour prouver P ⇒ Q, on prouve la contraposée ¬Q ⇒ ¬P, qui lui est équivalente.
• Le raisonnement par l'absurde : on suppose que ce qu'on veut prouver est faux, et on aboutit à une contradiction.
• Le raisonnement par disjonction de cas : on découpe le problème en situations qui couvrent toutes les possibilités.
• Le contre-exemple : pour montrer qu'une propriété « ∀x, P(x) » est fausse, un seul exemple qui la met en défaut suffit.
• Le raisonnement par récurrence : l'outil roi pour les propriétés dépendant d'un entier n.

Le raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n à partir d'un rang n₀, on procède en trois temps : l'initialisation (on vérifie P(n₀)), l'hérédité (on suppose P(n) vraie pour un n quelconque et on en déduit P(n+1)), puis la conclusion. Exemple classique : la somme 1 + 2 + … + n vaut n(n+1)/2 pour tout entier n ≥ 1.

Un exemple de raisonnement par l'absurde

Montrons que √2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons le contraire : √2 = p/q, fraction irréductible. En élevant au carré, 2q² = p², donc p² est pair, donc p est pair : p = 2k. Alors 2q² = 4k², soit q² = 2k², donc q est pair lui aussi. Mais p et q pairs contredisent le fait que la fraction était irréductible. L'hypothèse était donc absurde : √2 est irrationnel.