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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Notions de logique — Connecteurs, quantificateurs & raisonnements

Math Excellence
1 · Les connecteurs logiques
\(\overline P\)
Négation
vraie ssi \(P\) fausse
\(P\wedge Q\)
Conjonction « et »
vraie ssi les deux vraies
\(P\vee Q\)
Disjonction « ou » inclusif
fausse ssi les deux fausses
\(P\Rightarrow Q\)
Implication
fausse seulement si \(P\) V et \(Q\) F
\(P\Leftrightarrow Q\)
Équivalence
vraie ssi même valeur
\(\exists!\,x\)
Existence unique
un et un seul \(x\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & \overline P & P\wedge Q & P\Rightarrow Q & P\Leftrightarrow Q\\ \hline V & V & F & V & V & V\\ \hline V & F & F & F & F & F\\ \hline F & V & V & F & V & F\\ \hline F & F & V & F & V & V\\ \hline\end{array}\]
2 · Quantificateurs & négation
\(\forall\) et \(\exists\)
  • \(\forall x\in E,\ P(x)\) : « pour tout »
  • \(\exists x\in E,\ P(x)\) : « il existe »
  • le domaine \(E\) fait partie de l'énoncé
Ex : \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2\) (V) mais \(\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2\) (F)
Nier une proposition quantifiée
  • on échange \(\forall\leftrightarrow\exists\)
  • on nie le prédicat final
\(\overline{(\forall x,\ P(x))}=\exists x,\ \overline{P(x)}\)
Astuce : nier de gauche à droite, sans changer l'ordre.
L'ordre \(\forall/\exists\) compte
  • \(\forall x,\exists y,\ y>x\) : V (\(y\) dépend de \(x\))
  • \(\exists y,\forall x,\ y>x\) : F
Piège : \(\forall\) et \(\exists\) ne commutent pas.
De Morgan — le réflexe pour nier
  • \(\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q\)
  • \(\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q\)
  • \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q\)
négation de « \(x\ge0\) et \(x\le1\) » : « \(x<0\) ou \(x>1\) »
3 · Lois logiques (tautologies) à connaître
\(\overline{\overline P}\Leftrightarrow P\)
\(P\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P\)
\(P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow(P\vee Q)\wedge(P\vee R)\)
\(\overline{P\wedge Q}\Leftrightarrow\overline P\vee\overline Q\)
\(\overline{P\vee Q}\Leftrightarrow\overline P\wedge\overline Q\)
\((P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q)\)
\((P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)\)
\(\overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\wedge\overline Q)\)
\(\big[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)\)
Réciproque : \(Q\Rightarrow P\)
Contraposée : \(\overline Q\Rightarrow\overline P\)
\(P\) suffisante, \(Q\) nécessaire
4 · Les grands raisonnements
Direct
  • supposer \(P\), enchaîner jusqu'à \(Q\)
somme de deux rationnels \(\in\mathbb{Q}\)
Contraposée
  • prouver \(\overline Q\Rightarrow\overline P\) au lieu de \(P\Rightarrow Q\)
\(n^2\) impair \(\Rightarrow n\) impair
Par l'absurde
  • supposer \(\overline P\), aboutir à une contradiction
\(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\)
Contre-exemple
  • nier \(\forall x,\ P(x)\) : exhiber un seul \(x_0\)
« \(x^2=4\Rightarrow x=2\) » faux : \(x=-2\)
Disjonction des cas
  • partager \(E\) en cas qui le recouvrent
\(n(n+1)\) pair : \(n\) pair ou impair
Récurrence
  • Init. \(P(n_0)\) ; Hérédité \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\)
  • conclure \(\forall n\ge n_0\)
Piège : sans initialisation, on ne prouve rien !
★ Astuces géniales
  • « Le faux implique tout » : si \(P\) est fausse, \(P\Rightarrow Q\) est vraie.
  • Prouver une équivalence = prouver deux implications (les deux sens).
  • Nier = De Morgan + échange des quantificateurs, de gauche à droite.
  • Une équation par équivalences : chaque étape doit être réversible.
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