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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Ensembles & applications — Opérations, images, bijection

Math Excellence
1 · Ensembles & opérations
Inclusion
\(A\subset E\)
\(\forall x,\ x\in A\Rightarrow x\in E\)
Égalité
\(A=B\)
\(\iff A\subset B\) et \(B\subset A\)
Intersection · réunion
\(A\cap B,\ A\cup B\)
« et » · « ou »
Complément · différence
\(\overline A,\ A\setminus B\)
\(A\setminus B=A\cap\overline B\)
Produit cartésien
\(E\times F\)
couples \((x,y)\), l'ordre compte
Parties de \(E\)
\(\mathcal P(E)\)
\(A\subset E\iff A\in\mathcal P(E)\), \(|\mathcal P(E)|=2^n\)
2 · Applications : images, inj / surj / bij
Application \(f:E\to F\)
  • à chaque \(x\) : une seule image \(f(x)\)
  • \(f=g\iff\) mêmes domaines et \(f(x)=g(x)\)
Images directe / réciproque
  • \(f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\)
  • \(f^{-1}(B)=\{x\mid f(x)\in B\}\)
Piège : \(f^{-1}(B)\) existe même si \(f\) n'est pas bijective.
Injective
  • \(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\)
  • \(f(x)=y\) : au plus une solution
Surjective
  • \(\forall y\in F,\ \exists x,\ f(x)=y\)
  • \(f(x)=y\) : au moins une solution
Bijective
  • injective et surjective
  • \(f(x)=y\) : exactement une solution
réciproque : \(f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)\)
Composée \(g\circ f\)
  • \((g\circ f)(x)=g(f(x))\), \(f\) d'abord
  • bij \(\circ\) bij = bij, \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\)
3 · Formules & réflexes
\(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\)
\(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\)
\(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
\(A\subset B\iff A\cap B=A\iff A\cup B=B\)
\(|E|=n\Rightarrow|\mathcal P(E)|=2^n\)
\(f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')\)
\(f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')\)
\(\varnothing\subset A\subset A\)
\(\in\) élément \(\neq\) \(\subset\) partie
4 · Méthodes types
Montrer \(A=B\)
  • \(x\in A\Rightarrow x\in B\) (donc \(A\subset B\))
  • \(x\in B\Rightarrow x\in A\) (donc \(B\subset A\))
Double inclusion : la méthode reine.
Identité ensembliste
  • traduire \(x\in\dots\) en logique
  • enchaîner des \(\iff\) (et, ou, non)
\(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\)
Prouver l'injectivité
  • supposer \(f(x)=f(x')\), aboutir à \(x=x'\)
  • nier : un couple \(x\neq x'\), \(f(x)=f(x')\)
Déterminer \(f^{-1}\)
  • poser \(y=f(x)\), résoudre en \(x\)
  • vérifier \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}\)
\(f(x)=2x-3\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}2\)
★ Astuces géniales
  • Égalité d'ensembles \(\Rightarrow\) toujours double inclusion.
  • Ne pas confondre \(\in\) (élément) et \(\subset\) (partie) : \(a\in E\) mais \(\{a\}\subset E\).
  • Inj / surj / bij = nombre de solutions de \(f(x)=y\) : au plus / au moins / exactement une.
  • La fonction \(f^{-1}\) n'existe que si \(f\) est bijective ; l'image réciproque \(f^{-1}(B)\), toujours.
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