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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Généralités sur les fonctions — Parité, variations, composée

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1 · Domaine & symétries
Interdits de \(D_f\)
\(\frac1x,\ \sqrt{u},\ \tan u\)
\(x\neq0\), \(u\ge0\), \(\cos u\neq0\)
Paire
\(f(-x)=f(x)\)
symétrie / axe \((Oy)\)
Impaire
\(f(-x)=-f(x)\)
symétrie / origine \(O\)
Périodique
\(f(x+T)=f(x)\)
\(\cos,\sin:2\pi\) ; \(\tan:\pi\)
Égalité
\(f=g\)
\(D_f=D_g\) et \(f(x)=g(x)\)
Bornée
\(|f(x)|\le\alpha\)
majorée et minorée
2 · Variations, bornes & composée
Monotonie (sans dérivée)
  • pour \(a<b\), étudier le signe de \(f(b)-f(a)\)
  • ou le taux \(\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Astuce : \(\tau\ge0\) croissante, \(\tau\le0\) décroissante.
Majorée · minorée · extremums
  • majorée : \(\exists M,\ f(x)\le M\)
  • max absolu en \(x_0\) : \(f(x)\le f(x_0)\)
Piège : un majorant n'est pas toujours un maximum (borne non atteinte).
Comparer \(f\) et \(g\)
  • signe de \(f-g\) : au-dessus / au-dessous
  • \(f-g=0\) : les courbes se coupent
Composée \(v\circ u\)
  • \((v\circ u)(x)=v(u(x))\), \(u\) d'abord
  • \(D:\ x\in D_u\) et \(u(x)\in D_v\)
Règle des signes : même sens ⇒ croissante ; sens contraires ⇒ décroissante.
Image d'un intervalle
  • \(f\nearrow\) : \(f([a,b])=[f(a),f(b)]\)
  • \(f\searrow\) : \(f([a,b])=[f(b),f(a)]\)
l'intervalle « se retourne » si \(f\searrow\)
3 · Fonctions de référence
Affine \(ax+b\) : \(\tau=a\)
Trinôme : \(a(x-\alpha)^2+\beta,\ \alpha=-\frac{b}{2a}\)
Sommet \(S(\alpha,\beta)\), axe \(x=\alpha\)
Homographique : centre \(I(-\frac dc,\frac ac)\)
\(\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}\) donne le sens
\(\sqrt{ax+b}\) : \(D=[-\frac ba,+\infty[\) si \(a>0\)
\(x^3\) : impaire, \(\nearrow\) sur \(\mathbb{R}\)
\(\frac1x\) : \(\searrow\) sur \(]0,+\infty[\)
4 · Transformations de \(\mathcal C_f\)
Translations
  • \(f(x)+k\) : verticale \(k\vec\jmath\)
  • \(f(x-a)\) : horizontale \(a\vec\imath\)
Symétries
  • \(-f(x)\) : / axe \((Ox)\)
  • \(f(-x)\) : / axe \((Oy)\)
Valeur absolue \(|f(x)|\)
  • la partie sous \((Ox)\) est rabattue au-dessus
Plan d'étude
  • domaine → symétries → signe de \(\tau\)
  • → tableau de variations → extremums → courbe
★ Astuces géniales
  • Parité : vérifier d'abord que \(D_f\) est symétrique, sinon ni paire ni impaire — puis n'étudier qu'une moitié.
  • Monotonie sans dérivée : le signe de \(f(b)-f(a)\) pour \(a<b\).
  • Comparer deux fonctions = étudier le signe de \(f-g\).
  • Composée : \(u\) agit en premier ; le sens suit la règle des signes.
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