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uₙ
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Suites numériques — Arithmétiques, géométriques, sommes

Math Excellence
1 · Arithmétique vs géométrique
Arithmétique
\(u_{n+1}=u_n+r\)
\(u_{n+1}-u_n=r\) constant
Géométrique
\(u_{n+1}=q\,u_n\)
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\) constant
Terme général (arith.)
\(u_n=u_0+nr\)
\(u_n=u_p+(n-p)r\)
Terme général (géo.)
\(u_n=u_0\,q^n\)
\(u_n=u_p\,q^{\,n-p}\)
Milieu (arith.)
\(2b=a+c\)
\(a,b,c\) consécutifs
Milieu (géo.)
\(b^2=ac\)
\(a,b,c\) consécutifs
2 · Sommes & monotonie
Somme arithmétique
  • \(=(\text{nb termes})\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\)
\(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)
Somme géométrique \((q\neq1)\)
  • \(=(\text{1er})\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}\)
\(1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Variation (arith.)
  • \(r>0\) : \(\nearrow\) ; \(r=0\) : constante ; \(r<0\) : \(\searrow\)
Variation (géo. \(>0\))
  • \(q>1\) : \(\nearrow\) ; \(0<q<1\) : \(\searrow\)
  • \(q<0\) : signes qui alternent
Étudier la monotonie
  • signe de \(u_{n+1}-u_n\)
  • si \(u_n>0\) : comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\)
  • si \(u_n=f(n)\) : variations de \(f\)
Compter les termes
  • de \(u_p\) à \(u_n\) : \(n-p+1\) termes
  • de \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) termes
Piège : vérifier ce compte avant toute somme.
3 · Valeurs & réflexes
\(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)
\(1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
exposant de \(q\) = nb de termes
arith. : \(2b=a+c\)
géo. : \(b^2=ac\)
bornée \(\iff\) \(\exists A,\ |u_n|\le A\)
\(u_{n+1}\neq u_n+1\)
\(u_n=\frac{n}{n+1}\) : \(0\le u_n<1\)
4 · Méthodes types
Reconnaître la nature
  • \(u_{n+1}-u_n\) constant ⇒ arithmétique
  • \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) constant ⇒ géométrique
Suite auxiliaire \(u_{n+1}=au_n+b\)
  • point fixe \(\alpha=\frac{b}{1-a}\ (a\neq1)\)
  • \(v_n=u_n-\alpha\) est géométrique de raison \(a\)
  • exprimer \(v_n\) puis \(u_n\)
\(u_{n+1}=2u_n+3\Rightarrow\alpha=-3,\ v_n=u_n+3\)
Borne par récurrence
  • vérifier au 1er indice
  • supposer \(u_n\le M\), montrer \(u_{n+1}\le M\)
Somme par décalage
  • poser \(S\), calculer \(qS\), soustraire
  • \((1-q)S=u_p-u_{n+1}\)
★ Astuces géniales
  • Arithmétique \(=+r\), \(u_n=u_0+nr\) ; géométrique \(=\times q\), \(u_n=u_0q^n\).
  • Somme : c'est le nombre de termes qui donne l'exposant de \(q\), pas le dernier indice.
  • Une suite auxiliaire \(v_n=u_n-\alpha\) transforme \(u_{n+1}=au_n+b\) en géométrique.
  • Monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) vs \(1\) si les termes sont positifs.
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