Fiche de révision — Le barycentre dans le plan · 1ʳᵉ Bac SM

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Le barycentre dans le plan — Réduction, coordonnées, associativité

Math Excellence

1 · Définition & existence

Point pondéré

\((A,\alpha)\)

poids \(\alpha\), et \(\alpha\neq0\)

Barycentre

\(\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec0\)

existe ssi \(\alpha+\beta\neq0\)

Position

\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\)

\(A,B,G\) alignés

Isobarycentre

\(\alpha=\beta\Rightarrow G\) milieu

\(\overrightarrow{AG}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\)

Coordonnées

\(x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\)

idem pour \(y_G\)

Homogénéité

\(\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}\)

même \(G\) pour \(k\neq0\)

2 · Réduction, associativité & construction

Propriété caractéristique

pour tout point \(M\) : \(\sum\alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}=\big(\sum\alpha_i\big)\overrightarrow{MG}\)

Réflexe : une somme pondérée de vecteurs de même origine ⇒ introduire le barycentre.

Associativité (barycentre partiel)

\(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) \((\alpha+\beta\neq0)\)
\(\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\)

Construire \(G\) (3 points)

construire \(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\)
puis \(G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\)

Centre de gravité

\(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\)
\(I\) milieu de \([BC]\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AI}\)

aux \(\tfrac23\) de chaque médiane depuis le sommet

Signe des poids

même signe : \(G\in\,]A,B[\)
signes contraires : \(G\) hors de \([AB]\)

3 · Formules & réflexes

existence \(\iff\) somme des poids \(\neq0\)

\(\sum\alpha_i\overrightarrow{MA_i}=(\sum\alpha_i)\overrightarrow{MG}\)

\(x_G=\) moyenne pondérée

\(\times k\neq0\) : même barycentre

isobarycentre = milieu / centre de gravité

associativité = barycentre partiel

\(\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AI}\) (gravité)

4 points : regrouper 2 paires \(H,K\)

4 · Méthodes types

Réduire une somme vectorielle

vérifier \(s=\sum\alpha_i\neq0\)
poser \(G\), remplacer par \(s\,\overrightarrow{MG}\)

\(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\)

Déterminer un lieu

\(\big\|s\,\overrightarrow{MG}\big\|=r\Rightarrow MG=\tfrac r{|s|}\) : cercle
\(MG=MH\) : médiatrice de \([GH]\)

Prouver alignement / concours

regrouper deux points par associativité
ramener \(G\) à un point d'une droite connue

Calculer des coordonnées

vérifier \(s\neq0\)
appliquer la moyenne pondérée

Piège : ne jamais diviser par une somme de poids nulle.

★ Astuces géniales

Premier réflexe : calculer la somme des poids — le barycentre n'existe que si elle est non nulle.
La propriété caractéristique réduit toute somme pondérée en un seul vecteur \(s\,\overrightarrow{MG}\).
Associativité = l'outil des alignements et concours : on regroupe deux points.
Multiplier tous les poids par un même \(k\neq0\) ne change pas le barycentre — on simplifie librement.

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