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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Le produit scalaire dans le plan — Analytique, droites, cercle

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1 · Définitions & expressions
Trigonométrique
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\)
signe = signe de l'angle
Analytique (repère O.N.)
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\)
\(\vec u(x,y),\ \vec v(x',y')\)
Orthogonalité
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
le test clé
Carré scalaire
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Déterminant
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\)
\(=0\iff\) colinéaires
Distance
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
\(=\|\overrightarrow{AB}\|\)
2 · Identités, angles & inégalités
Identités remarquables
  • \(\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
  • \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\)
\(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)\)
Angle & aire
  • \(\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
  • \(\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
\(\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|\)
Cauchy–Schwarz
  • \(|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)
  • égalité \(\iff\) colinéaires
Inégalité triangulaire
  • \(\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|\)
  • égalité \(\iff\) même sens
3 · Formules & réflexes
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\)
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)
\(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\)
droite : normal \(\vec n(a,b)\), directeur \(\vec d(-b,a)\)
\(d(M,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
4 · Droites & cercle — méthodes
Équation d'une droite
  • par \(A\), normal \(\vec n(a,b)\) : \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\)
  • \(\Rightarrow ax+by+c=0\), normal \(\vec n(a,b)\)
Positions relatives
  • \((D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0\)
  • \((D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0\)
Reconnaître un cercle
  • forme \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
  • développée : compléter les carrés
Piège : si \(\Delta_c<0\) l'ensemble est vide, si \(\Delta_c=0\) c'est un point.
Cercle de diamètre \([AB]\)
  • \(M\in\mathcal C\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
  • droite & cercle : comparer \(d(\Omega,D)\) au rayon \(r\)
★ Astuces géniales
  • Orthogonalité = produit scalaire nul. C'est le pont entre géométrie et calcul.
  • En repère orthonormé, tout se calcule : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\), \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
  • Position d'une droite / cercle : comparer la distance du centre au rayon, sans résoudre de système.
  • Équation développée d'un cercle : compléter les carrés donne centre et rayon d'un coup.
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