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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Calcul trigonométrique (1) — Cercle, angles associés, addition

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1 · Identités & valeurs
Identité fondamentale
\(\cos^2x+\sin^2x=1\)
\(-1\le\cos x,\sin x\le1\)
Tangente
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
si \(\cos x\neq0\)
Relation tan
\(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)
\(x\neq\tfrac\pi2+k\pi\)
Périodicité
\(\cos,\sin:2\pi\) ; \(\tan:\pi\)
\(\cos(x+2k\pi)=\cos x\)
Parité
\(\cos\) paire, \(\sin\) impaire
\(\cos(-x)=\cos x\)
Radians
\(180^\circ=\pi\)
\(60^\circ=\tfrac\pi3\), \(\tfrac{5\pi}6=150^\circ\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array}\]
2 · Angles associés & addition
Angles associés
  • \(\cos(-x)=\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x\)
  • \(\cos(\pi-x)=-\cos x,\ \sin(\pi-x)=\sin x\)
  • \(\cos(\pi+x)=-\cos x,\ \sin(\pi+x)=-\sin x\)
Complémentaires \(\tfrac\pi2\pm x\)
  • \(\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x,\ \sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x\)
  • \(\cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x\)
Astuce : placer le point sur le cercle, appliquer la symétrie.
Addition — cosinus
  • \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\)
Le cos contrarie le signe intérieur
Addition — sinus
  • \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\)
Le sin suit le signe intérieur
Addition — tangente
  • \(\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}\)
3 · Formules & réflexes
\(\cos^2x+\sin^2x=1\)
\(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
\(\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\)
\(\sin2x=2\sin x\cos x\)
\(\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x\)
\(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)
\(\cos\) paire, \(\sin\) impaire
4 · Duplication, linéarisation, transformation
Angle double
  • \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\) (3 formes)
  • \(\sin2x=2\sin x\cos x,\ \tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}\)
Demi-angle
  • \(\cos^2\tfrac x2=\dfrac{1+\cos x}2\)
  • \(\sin^2\tfrac x2=\dfrac{1-\cos x}2\)
Piège : choisir le signe de la racine selon le quadrant.
Linéariser
  • \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2,\ \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\)
  • \(\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x\)
Transformer
  • produit → somme : \(\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\)
  • somme → produit : \(\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2\)
\(t=\tan\tfrac x2\) : rend \(\sin x,\cos x\) rationnels
★ Astuces géniales
  • Addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit » — le signe intérieur change pour \(\cos\), se conserve pour \(\sin\).
  • \(\cos2x\) a trois formes : chacune donne une linéarisation (\(\cos^2\), \(\sin^2\)).
  • Linéariser pour éliminer une puissance ; somme → produit pour factoriser.
  • Angles associés : ne jamais mémoriser par cœur — lire les symétries du cercle.
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