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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Calcul trigonométrique (2) — Équations, inéquations, forme \(R\cos\)

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1 · Forme \(R\cos\) & équations de référence
Transformation
\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)\)
\((a,b)\neq(0,0)\)
Amplitude
\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)
max \(=R\), min \(=-R\)
Phase \(\varphi\)
\(\cos\varphi=\dfrac aR,\ \sin\varphi=\dfrac bR\)
détermine l'angle \(\varphi\)
\(\cos x=\cos\alpha\)
\(x=\pm\alpha+2k\pi\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\sin x=\sin\alpha\)
\(x=\alpha+2k\pi\) ou \(\pi-\alpha+2k\pi\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\tan x=\tan\alpha\)
\(x=\alpha+k\pi\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
2 · Résoudre une équation
① Se ramener à une référence
  • \(\cos x=\cos\alpha\) (ou \(\sin\), \(\tan\))
  • par factorisation, linéarisation, ou forme \(R\cos(x-\varphi)\)
② Écrire toutes les solutions
  • ne pas oublier le \(+2k\pi\) (ou \(+k\pi\))
Piège : oublier une des deux familles de solutions.
③ Filtrer par l'intervalle
  • choisir les \(k\) qui placent \(x\) dans l'intervalle imposé
Via la forme \(R\cos\)
  • \(a\cos x+b\sin x=m\iff\cos(x-\varphi)=\dfrac mR\)
  • solution ssi \(|m|\le R\)
3 · Formules & réflexes
\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)\)
\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)
max \(=R\), min \(=-R\)
\(\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi\)
\(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha\) ou \(\pi-\alpha\ [2\pi]\)
\(\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi\)
solution ssi \(|m|\le R\)
toujours ajouter \(+2k\pi\)
4 · Inéquations & applications
Résoudre une inéquation
  • résoudre d'abord l'égalité associée
  • lire le cercle : repérer l'arc solution
  • conclure par un intervalle
\(\cos x\ge\tfrac12\) sur \([0,2\pi[\) : \([0,\tfrac\pi3]\cup[\tfrac{5\pi}3,2\pi[\)
Le cercle tranche
  • \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée
  • repérer l'arc où l'inégalité est vraie
Astuce : une inéquation trigo se lit, elle ne se calcule pas.
Étudier \(x\mapsto a\cos x+b\sin x\)
  • l'écrire \(R\cos(x-\varphi)\)
  • max \(R\), min \(-R\), variations lisibles
Bien conclure
  • vérifier les bornes de l'intervalle (ouvert/fermé)
  • toujours préciser \(k\in\mathbb{Z}\)
★ Astuces géniales
  • La forme \(R\cos(x-\varphi)\) révèle tout : max, min, et résout \(a\cos x+b\sin x=m\) d'un coup.
  • Une équation : ramener à \(\cos x=\cos\alpha\), écrire toutes les solutions, puis filtrer.
  • Une inéquation : résoudre l'égalité, puis lire le cercle pour l'arc solution.
  • Toujours conserver le \(+2k\pi\) tant que l'intervalle n'est pas imposé.
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