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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

La rotation dans le plan — Isométrie, images de figures

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1 · Définition & cas particuliers
Rotation \(r(\Omega,\theta)\)
\(\Omega M'=\Omega M\)
\(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\ [2\pi]\)
Réciproque
\(r^{-1}=r(\Omega,-\theta)\)
même centre, angle opposé
Cas \(\theta=0\)
identité
rien ne bouge
Cas \(\theta=\pi\)
symétrie centrale
de centre \(\Omega\)
Isométrie
\(M'N'=MN\)
conserve les distances
Angles orientés
\(\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)=\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\)
conservés \([2\pi]\)
2 · Propriétés (tout se conserve, sauf la position)
Isométrie
  • \(M'=r(M),\ N'=r(N)\Rightarrow M'N'=MN\)
  • conserve aussi aires, alignement, parallélisme
Angles orientés
  • conservés modulo \(2\pi\)
  • la figure image est superposable
Rotation & vecteurs
  • \(\big\|\overrightarrow{A'B'}\big\|=\big\|\overrightarrow{AB}\big\|\)
  • \(\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\theta\) : vecteur « tourné » de \(\theta\)
Conserve le barycentre
  • \(G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\Rightarrow r(G)=\mathrm{bar}\{(A',\alpha),(B',\beta)\}\)
  • image du milieu = milieu des images
3 · Réflexes
\(\Omega M'=\Omega M\) et \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\)
réciproque : angle \(-\theta\)
\(\theta=\pi\) : symétrie centrale
isométrie : \(M'N'=MN\)
conserve les angles orientés
image du milieu = milieu de l'image
image d'un cercle : même rayon
conserve aires, alignement, parallélisme
4 · Images de figures — méthode
Image d'une droite
  • une droite, tournée de l'angle \(\theta\)
Image d'un segment
  • \([A'B']\) de même longueur que \([AB]\)
Image d'un cercle
  • cercle de centre \(I'=r(I)\), même rayon \(R\)
Construire l'image
  • construire l'image des points-clés (extrémités, centre)
  • chacun tourne de \(\theta\) autour de \(\Omega\), à distance constante
Astuce : une rotation démontre longueurs et angles droits sans coordonnées.
★ Astuces géniales
  • Une rotation est une isométrie : longueurs, angles, milieux, aires — tout est conservé, seule la position change.
  • Angle \(\theta=\pi\) ⇒ symétrie centrale ; réciproque = même centre, angle \(-\theta\).
  • Pour construire une image, il suffit des points-clés : extrémités d'un segment, centre d'un cercle.
  • Outil de démonstration : prouver \(A'B'=AB\) et l'angle \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})=\theta\) sans calcul.
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