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La limite d'une fonction inaugure l'analyse fine du programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Maths. Cette fiche réunit la définition avec ε, les limites de référence, les opérations, les quatre formes indéterminées, la limite d'une composée et le théorème des gendarmes. En SM, on attend une justification rigoureuse : une forme indéterminée ne se conclut jamais directement, on factorise, on simplifie ou on conjugue. Le réflexe indispensable : à l'infini, seul le terme dominant d'un polynôme ou d'une fraction compte.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Limite d'une fonction — Opérations, formes indéterminées, gendarmes

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1 · Définitions & références
Limite finie
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\)
\(f(x)\) proche de \(\ell\)
Asymptote verticale
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty\)
droite \(x=a\)
Asymptote horizontale
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell\)
droite \(y=\ell\)
Définition \(\varepsilon\) (SM)
\(|x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon\)
\(\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0\)
Gauche / droite
\(\displaystyle\lim_{x_0^+}=\lim_{x_0^-}=\ell\)
\(\iff\lim_{x_0}f=\ell\)
Références \(\infty\)
\(x^n\to+\infty,\ \tfrac1{x^n}\to0\)
\(\sqrt x\to+\infty\)
2 · Opérations, F.I. & composée
Opérations
  • \(\lim(f+g),\ \lim(fg),\ \lim\tfrac fg\) se combinent
  • quotient : dénominateur \(\neq0\)
Les 4 formes indéterminées
  • \(\infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \dfrac\infty\infty,\quad \dfrac00\)
Réflexe : factoriser, simplifier ou conjuguer.
À l'infini
  • polynôme \(\sim\) terme de plus haut degré
  • fraction \(\sim\) quotient des termes dominants
\(\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}\to2\)
Composée
  • poser \(t=u(x)\), enchaîner les limites
  • \(\lim v(u(x))=\ell\) si \(u\to a\) et \(v\to\ell\)
Trigonométrie en \(0\)
  • \(\dfrac{\sin x}x\to1,\ \dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\tfrac12,\ \dfrac{\tan x}x\to1\)
faire apparaître \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\)
Gendarmes & comparaison
  • \(g\le f\le h\) et \(\lim g=\lim h=\ell\Rightarrow\lim f=\ell\)
  • \(f\ge g,\ \lim g=+\infty\Rightarrow\lim f=+\infty\)
3 · Formules & réflexes
\(\forall\varepsilon>0,\exists\alpha>0,\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f-\ell|<\varepsilon\)
\(x^n\to+\infty\), \(\dfrac1{x^n}\to0\)
polynôme \(\sim\) terme dominant
fraction \(\sim\) quotient dominants
\(\dfrac{\sin x}x\to1\)
\(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12\)
\(\dfrac1{0^+}=+\infty\), \(\dfrac1{0^-}=-\infty\)
gendarmes = encadrer
4 · Méthodes types
Lever \(\infty-\infty\) (racines)
  • multiplier par la quantité conjuguée
\(\sqrt{x^2+x}-x\to\tfrac12\)
Lever \(\tfrac\infty\infty\)
  • factoriser par le terme dominant, simplifier
Limite trigonométrique
  • faire apparaître \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\)
\(\dfrac{\sin5x}{\sin2x}\to\dfrac52\)
Encadrer pour conclure
  • borner un facteur (\(\cos,\sin\in[-1,1]\))
  • appliquer les gendarmes
\(\dfrac{\cos x}x\to0\) en \(+\infty\)
★ Astuces géniales
  • Face à une F.I. : ne jamais conclure directement — factoriser, simplifier ou conjuguer.
  • À l'infini, seul le terme dominant compte (polynômes et fractions rationnelles).
  • Toute limite trigo en \(0\) se ramène à \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\to1\).
  • Gendarmes : dès qu'un \(\cos\) ou \(\sin\) traîne, on encadre plutôt que calculer.
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