Limite d'une suite numérique (2 Bac) : cours et méthodes

Le chapitre des suites numériques mêle calcul de limites et raisonnement (souvent par récurrence). C'est un incontournable du Bac. Voici le résumé des outils à maîtriser.

Convergence et vocabulaire

Une suite (uₙ) est convergente si elle admet une limite finie ℓ quand n tend vers +∞ ; sinon elle est divergente (limite infinie ou pas de limite du tout, comme (−1)ⁿ). On dit qu'une suite est majorée si elle reste sous un plafond, minorée si elle reste au-dessus d'un plancher, et bornée si elle est les deux à la fois. Pour étudier la monotonie, on regarde le signe de uₙ₊₁ − uₙ.

Les limites de référence

• 1/n, 1/n² et 1/√n tendent vers 0 ;
• n, n² et √n tendent vers +∞ ;
• pour une suite géométrique qⁿ : si |q| < 1, elle tend vers 0 ; si q > 1, vers +∞ ;
• (1 + 1/n)ⁿ tend vers le nombre e.

Les théorèmes à connaître

Deux théorèmes sont particulièrement puissants. Le théorème d'encadrement (dit « des gendarmes ») : si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et si uₙ et wₙ tendent vers la même limite ℓ, alors vₙ tend aussi vers ℓ. Le théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Ce dernier est la clé pour prouver qu'une suite récurrente admet une limite.

Les suites récurrentes

Pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), la méthode type se déroule en deux temps. D'abord, on montre par récurrence que la suite est monotone et bornée, ce qui prouve qu'elle converge. Ensuite, si f est continue, la limite ℓ vérifie l'équation ℓ = f(ℓ) : on la résout pour trouver la valeur exacte. Graphiquement, on visualise cette convergence avec un « escalier » entre la courbe de f et la droite y = x.

Exemple entièrement résolu

Soit la suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2). Montrons qu'elle converge et calculons sa limite. C'est l'exercice type de suite récurrente au Bac.

Étape 1 — la suite est majorée par 2. On le prouve par récurrence. Initialisation : u₀ = 1 ≤ 2, c'est vrai. Hérédité : supposons uₙ ≤ 2. Alors uₙ + 2 ≤ 4, donc √(uₙ + 2) ≤ √4 = 2 (la fonction racine étant croissante), c'est-à-dire uₙ₊₁ ≤ 2. La propriété est héréditaire, donc uₙ ≤ 2 pour tout n.

Étape 2 — la suite est croissante. Comparons uₙ₊₁ et uₙ, c'est-à-dire √(uₙ + 2) et uₙ. Comme les deux membres sont positifs, on peut comparer leurs carrés : uₙ + 2 et uₙ². La différence uₙ + 2 − uₙ² se factorise en −(uₙ − 2)(uₙ + 1). Or on sait que 0 ≤ uₙ ≤ 2, donc (uₙ − 2) ≤ 0 et (uₙ + 1) > 0 : le produit est négatif ou nul, et son opposé est donc positif ou nul. Ainsi uₙ + 2 ≥ uₙ², d'où uₙ₊₁ ≥ uₙ. La suite est croissante.

Étape 3 — la conclusion. La suite est croissante et majorée par 2 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite ℓ. Étape 4 — on calcule ℓ. La fonction f(x) = √(x + 2) est continue, donc ℓ vérifie ℓ = √(ℓ + 2). En élevant au carré : ℓ² = ℓ + 2, soit ℓ² − ℓ − 2 = 0, qui se factorise en (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0. On obtient ℓ = 2 ou ℓ = −1. Comme tous les termes sont positifs, la limite ne peut être négative : on rejette −1. La suite converge donc vers ℓ = 2.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : calculez la limite de la suite définie par uₙ = (3n + 2)/(n − 1), puis celle de vₙ = 2 × (1/3)ⁿ. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour uₙ, on factorise par n au numérateur et au dénominateur : uₙ = n(3 + 2/n) / (n(1 − 1/n)) = (3 + 2/n)/(1 − 1/n). Quand n tend vers +∞, les termes 2/n et 1/n tendent vers 0, et la limite vaut 3/1 = 3. Pour vₙ, il s'agit d'une suite géométrique de raison q = 1/3. Comme |1/3| < 1, on a qⁿ → 0, donc vₙ → 2 × 0 = 0. La suite converge vers 0.

Les questions types au Bac

Les exercices sur les suites suivent presque toujours le même scénario :

• Calculer la limite d'un quotient en n (factoriser par le terme dominant).
• Montrer par récurrence qu'une suite est majorée ou minorée.
• Étudier la monotonie via le signe de uₙ₊₁ − uₙ.
• Conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone, puis résoudre ℓ = f(ℓ).
• Reconnaître une suite géométrique et appliquer la règle sur |q| (converge vers 0 si |q| < 1).
• Utiliser le théorème d'encadrement (« gendarmes ») pour une suite coincée entre deux autres.

Les erreurs fréquentes

• Appliquer le théorème de convergence monotone en oubliant de prouver à la fois la monotonie ET le caractère borné (attention : une suite peut converger sans être monotone — c'est une condition suffisante, pas nécessaire).
• Se tromper dans l'initialisation ou l'hérédité d'un raisonnement par récurrence.
• Confondre la limite de la suite avec un de ses premiers termes.
• Oublier de vérifier la condition |q| < 1 pour une suite géométrique.

Le raisonnement par récurrence s'acquiert par la pratique : une fois le schéma compris, il devient automatique. Pour vous entraîner avec des exercices corrigés et un suivi personnalisé, réservez un cours, à Fès ou en ligne.