1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 9

Dérivabilité

Dériver, c'est mesurer la vitesse à laquelle une fonction change à chaque instant. Le nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation — et se lit sur le graphique comme la pente de la tangente à la courbe. C'est cette double lecture, algébrique et géométrique, qui fait de la dérivée l'outil central de l'analyse. Ce chapitre part de la définition (limite du taux d'accroissement, dérivabilité à gauche et à droite, point anguleux, tangente verticale), établit que dérivable implique continue mais pas l'inverse, puis construit la boîte à outils complète : dérivées des fonctions de référence, règles pour la somme, le produit, le quotient et la composée. Le cœur pratique arrive ensuite : le signe de la dérivée donne les variations, ses changements de signe donnent les extremums, et tout se range dans un tableau de variations. Vous verrez aussi l'approximation affine (remplacer une fonction par sa tangente près d'un point) et une première équation différentielle, y″ + ω²y = 0, celle de l'oscillateur harmonique. À ce niveau, on reste sur les fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques ; le logarithme et l'exponentielle viendront en 2ᵉ Bac.

1 · Résumé du cours

La dérivée mesure la variation instantanée d'une fonction. Géométriquement, elle donne la pente de la tangente à la courbe ; en pratique, elle sert à étudier les variations, chercher les extremums et obtenir des approximations. La réussite repose sur trois réflexes : déterminer le domaine, choisir la bonne formule de dérivation, et factoriser la dérivée avant d'étudier son signe.

1.1 Nombre dérivé en un point

Taux de variation · nombre dérivé Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(x\) est \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) (pente de la sécante). \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie : \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\] Le réel \(f'(a)\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\).

Méthode — nombre dérivé par la définition Calculer \(f(a)\) ; former \(f(x)-f(a)\) (ou \(f(a+h)-f(a)\)) ; factoriser par \(x-a\) (ou \(h\)) ; simplifier pour \(x\neq a\) ; calculer la limite ; conclure à la dérivabilité seulement si elle est finie.

Exemple. \(f(x)=x^{2}+3x\), \(a=1\) : \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}h=\dfrac{h^{2}+5h}{h}=h+5\to5\), donc \(f'(1)=5\).

Dérivabilité ⇒ continuité Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\) : \(f(x)-f(a)=(x-a)\cdot\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to0\times f'(a)=0\).

La réciproque est fausse Une fonction peut être continue sans être dérivable. \(f(x)=|x|\) est continue en \(0\), mais les pentes à gauche et à droite valent \(-1\) et \(1\) : sa courbe a un point anguleux en l'origine.

1.2 Interprétation géométrique et tangente

Lorsque \(M\) se rapproche de \(A\), la sécante \((AM)\) pivote vers la tangente ; son coefficient directeur tend vers le nombre dérivé \(f'(a)\).

Équation de la tangente Si \(f\) est dérivable en \(a\), \(\mathcal{C}_f\) admet en \(A(a,f(a))\) une tangente de pente \(f'(a)\) et d'équation \[(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

Méthode — déterminer une tangente Vérifier \(a\in D_f\) ; calculer \(f(a)\) ; calculer \(f'(x)\) puis \(f'(a)\) ; remplacer dans \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; développer seulement si une forme réduite est demandée.

Lecture graphique En \(a\) : \(f'(a)>0\) tangente montante ; \(f'(a)<0\) descendante ; \(f'(a)=0\) horizontale ; si le taux tend vers \(\pm\infty\), tangente verticale \(x=a\) mais \(f\) n'est pas dérivable en \(a\).

Approximation affine Au voisinage de \(a\) : \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\), ou avec \(x=a+h\) : \(f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)\). Exemple : \(f(x)=\sqrt{x}\), \(a=4\) : \(f'(4)=\tfrac14\), d'où \(\sqrt{4+h}\approx2+\tfrac h4\), et \(\sqrt{4{,}04}\approx2{,}01\).

1.3 Dérivabilité à droite et à gauche

Nombres dérivés latéraux \(f'_d(a)=\displaystyle\lim_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) et \(f'_g(a)=\displaystyle\lim_{x\to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) (lorsqu'ils existent et sont finis). Si \(a\) est intérieur au domaine : \[f\text{ dérivable en }a\iff f'_g(a)=f'_d(a)\in\mathbb{R}.\]

Demi-tangentes · point anguleux Si \(f'_d(a)\) existe : demi-tangente à droite \(y=f'_d(a)(x-a)+f(a),\ x\geq a\) (idem à gauche). Si \(f'_g(a)\neq f'_d(a)\), les deux demi-tangentes diffèrent : point anguleux en \(A(a,f(a))\). Si le taux latéral tend vers \(\pm\infty\), demi-tangente verticale.

Exemple. \(f(x)=\sqrt{x}\) sur \([0,+\infty[\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac1{\sqrt{x}}\to+\infty\) quand \(x\to0^+\). Demi-tangente verticale \(x=0\) en \(O\) ; \(f\) n'est pas dérivable à droite en \(0\).

1.4 Fonction dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée · dérivées successives \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) si elle l'est en tout point ; \(x\mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée \(f'\). Si \(f'\) est dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde \(f''\), puis \(f''',\dots,f^{(n)}\) (dérivée d'ordre \(n\), pas la puissance).

Dérivées des fonctions usuelles

\((k)'=0\), \((x)'=1\), \((x^{n})'=n\,x^{n-1}\) sur \(\mathbb{R}\) ;
\(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^{2}}\) sur \(\mathbb{R}^*\) ; \((\sqrt{x})'=\dfrac1{2\sqrt{x}}\) sur \(]0,+\infty[\) ;
\((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) ;
\((\tan x)'=\dfrac1{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\) sur son domaine.

Opérations et composée \((u+v)'=u'+v'\), \((\lambda u)'=\lambda u'\), \((uv)'=u'v+uv'\) ; si \(v\neq0\), \(\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}\) et \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\). Composée : \((v\circ u)'=(v'\circ u)\,u'\), d'où \[(u^{n})'=n\,u'u^{n-1},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\ (u>0),\quad (\sin u)'=u'\cos u,\quad (\cos u)'=-u'\sin u.\]

Méthode — calculer une dérivée Déterminer domaine de définition et de dérivabilité ; repérer la structure (somme, produit, quotient, composée) ; nommer \(u,v\) si besoin ; appliquer la formule avant de développer ; simplifier et factoriser si la dérivée doit servir à une étude de signe ; vérifier les restrictions (dénominateur non nul, radicande \(>0\)).

Exemple. \(f(x)=\sqrt{2x^{2}+1}\), \(u=2x^{2}+1>0\) : \(f'(x)=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}=\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^{2}+1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^{2}+1}}\).

1.5 Monotonie et signe de la dérivée

Signe de \(f'\) et variations Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) : \(f'\geq0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) croissante ; \(f'\leq0\) \(\Rightarrow\) décroissante ; \(f'=0\) \(\Rightarrow\) constante. Si \(f'>0\) sauf en des points isolés où elle s'annule, \(f\) est strictement croissante (idem \(f'<0\)). Réciproquement, \(f\) croissante \(\Rightarrow f'\geq0\).

Strictement croissante ≠ \(f'>0\) partout \(f(x)=x^{3}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), pourtant \(f'(0)=0\). Une fonction strictement croissante et dérivable vérifie \(f'\geq0\), sans que \(f'\) soit strictement positive partout.

Méthode — tableau de variations Déterminer le domaine ; calculer et factoriser \(f'(x)\) ; résoudre \(f'(x)=0\) et repérer les valeurs interdites ; dresser le tableau de signe de \(f'\) ; en déduire croissance/décroissance ; calculer \(f\) aux points critiques et les limites aux bornes ; reporter dans le tableau de variations.

1.6 Extremums d'une fonction dérivable

Condition nécessaire Si \(a\) est intérieur à \(I\), \(f\) dérivable en \(a\) et admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\) (tangente horizontale).

La réciproque est fausse \(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum : pour \(f(x)=x^{3}\), \(f'(0)=0\) mais \(f\) reste croissante autour de \(0\).

Condition suffisante (changement de signe) Si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(a\) : maximum local ; de \(-\) à \(+\) : minimum local. La valeur de l'extremum est \(f(a)\), pas \(a\).

1.7 Équation différentielle \(y''+\omega^{2}y=0\)

Solutions Une équation différentielle a pour inconnue une fonction et fait intervenir ses dérivées. Pour \(\omega>0\), les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y''+\omega^{2}y=0\) sont \[y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x),\qquad A,B\in\mathbb{R}.\]

Méthode — déterminer \(A\) et \(B\) Deux conditions indépendantes (souvent \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)) : écrire la solution générale, calculer \(y'\), remplacer \(x\) par \(x_0\) dans \(y\) et \(y'\), résoudre le système, vérifier.

Modèle d'un mouvement oscillant \(y''+\omega^{2}y=0\) modélise un oscillateur sans frottement : l'accélération \(y''\) est proportionnelle et opposée à la position \(y\). \(\omega\) est la pulsation ; \(A,B\) dépendent de l'état initial.

L'essentiel du chapitre

Nombre dérivé = limite du taux de variation = pente de la tangente \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
Dérivable en \(x_0\) \(\iff\) \(f'_g(x_0)=f'_d(x_0)\) (sinon point anguleux).
Maîtriser le tableau des dérivées usuelles + opérations + composée (\((u^{n})'=nu'u^{n-1}\), \((\sqrt u)'=\tfrac{u'}{2\sqrt u}\)).
Signe de \(f'\) \(\Rightarrow\) variations ; \(f'\) change de signe \(\Rightarrow\) extremum.
\(y''+\omega^{2}y=0\Rightarrow y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) (oscillateur).

2 · Exercices résolus

Quotient · tangente

Exercice 1

Calculer la dérivée de \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}+1}\), puis l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(0\).

Voir la correction

Avec \(u=2x-1\ (u'=2)\) et \(v=x^{2}+1\ (v'=2x)\) : \[f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}=\dfrac{2(x^{2}+1)-(2x-1)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}+2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}.\]

En \(0\) : \(f(0)=-1\) et \(f'(0)=\dfrac21=2\). La tangente est \(y=2(x-0)-1=2x-1\). \(\blacksquare\)

Variations

Exercice 2

Étudier les variations de \(f(x)=x^{3}-3x\) sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

\(f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)\), positif à l'extérieur des racines \(-1\) et \(1\) :

\(f'>0\) sur \(]-\infty,-1[\) et \(]1,+\infty[\) : \(f\) croissante ;
\(f'<0\) sur \(]-1,1[\) : \(f\) décroissante.

Maximum local en \(x=-1\) (\(f(-1)=2\)), minimum local en \(x=1\) (\(f(1)=-2\)). \(\blacksquare\)

Équation différentielle

Exercice 3

Résoudre \(y''+4y=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\).

Voir la correction

Ici \(\omega^{2}=4\), donc \(\omega=2\) et \(y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\), \(y'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\). Les conditions donnent \(y(0)=A=1\) et \(y'(0)=2B=2\Rightarrow B=1\).

D'où \(y(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\). \(\blacksquare\)

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