1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 8

La rotation dans le plan

La rotation est une transformation qui fait pivoter tout le plan autour d'un centre fixe, d'un angle donné. C'est un déplacement rigide : rien n'est déformé, tout est simplement tourné — d'où sa puissance en géométrie, car la figure image garde exactement les mêmes longueurs, les mêmes angles et la même aire que la figure de départ. Ce chapitre définit la rotation par ses deux conditions (même distance au centre, angle orienté imposé), puis en déroule les conséquences : réciproque, composition de rotations de même centre, et surtout la longue liste des invariants (alignement, parallélisme, milieux, barycentres, nature des figures). Vous apprendrez à construire l'image d'un point ou d'une figure, à retrouver le centre d'une rotation par l'intersection de deux médiatrices, à en lire l'angle sur deux segments correspondants, et à traduire tout cela en coordonnées grâce aux formules de rotation dans un repère orthonormé. La rotation devient alors un outil de démonstration : prouver qu'un triangle est isocèle rectangle, que deux droites sont perpendiculaires, qu'un point est un milieu.

1 · Résumé du cours

Une rotation fait tourner tous les points du plan autour d'un même centre et d'un même angle orienté. Elle ne déforme pas les figures : elle conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires. Pour l'utiliser, il faut savoir reconnaître deux points correspondants, déterminer le centre et l'angle, puis transférer les propriétés de la figure initiale à sa figure image.

1.1 Définition et premières propriétés

Rotation Soient \(\Omega\) un point et \(\theta\) un réel. La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\), notée \(r_{(\Omega,\theta)}\), transforme tout point \(M\) en \(M'\) tel que : \(M'=\Omega\) si \(M=\Omega\) ; sinon \[\Omega M'=\Omega M\qquad\text{et}\qquad\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)\equiv\theta\pmod{2\pi}.\]

Le point \(M'\) reste à la même distance de \(\Omega\), et le rayon \([\Omega M]\) tourne de l'angle orienté \(\theta\).

Point invariant · cas particuliers Le centre est toujours invariant : \(r_{(\Omega,\theta)}(\Omega)=\Omega\). Si \(\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}\), c'est l'unique point invariant.

\(\theta\equiv0\pmod{2\pi}\) : identité ;
\(\theta\equiv\pi\pmod{2\pi}\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\) ;
\(\theta=\tfrac\pi2\) : quart de tour direct ; \(\theta=-\tfrac\pi2\) : quart de tour indirect.

Exemple. Dans un carré direct \(ABCD\), \(r_{(A,\pi/2)}\) envoie \(B\) sur \(D\) ; \(r_{(O,\pi)}\) (centre du carré) envoie \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\). Lire le sens direct de la figure est indispensable pour le signe de l'angle.

1.2 Construire et reconnaître l'image d'un point

Méthode — construire \(M'=r_{(\Omega,\theta)}(M)\) Pour \(M\neq\Omega\) : tracer le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\Omega M\) ; depuis \([\Omega M)\), construire la demi-droite formant l'angle orienté \(\theta\) ; \(M'\) est son intersection avec le cercle ; contrôler \(\Omega M'=\Omega M\) et le sens de l'angle. Angle négatif \(\Rightarrow\) sens indirect.

Méthode — reconnaître l'image Pour prouver \(r_{(\Omega,\theta)}(M)=N\), vérifier les deux conditions : \(\Omega M=\Omega N\) et \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega N}\big)\equiv\theta\pmod{2\pi}\). Une seule ne suffit pas.

Configurations usuelles

carré : angles \(\pm\tfrac\pi2\) ou \(\pi\) ;
triangle équilatéral : \(\pm\tfrac\pi3\) autour d'un sommet, \(\pm\tfrac{2\pi}{3}\) autour du centre ;
triangle isocèle rectangle : \(\pm\tfrac\pi2\) autour du sommet de l'angle droit.

Toujours vérifier l'orientation avant de fixer le signe.

1.3 Rotation réciproque et composition

Rotation réciproque Toute rotation est une bijection, de réciproque la rotation de même centre et d'angle opposé : \[r_{(\Omega,\theta)}^{-1}=r_{(\Omega,-\theta)},\qquad r_{(\Omega,\theta)}(M)=M'\iff r_{(\Omega,-\theta)}(M')=M.\] \(M\) est l'antécédent de \(M'\).

Rotations de même centre \[r_{(\Omega,\beta)}\circ r_{(\Omega,\alpha)}=r_{(\Omega,\alpha+\beta)},\qquad \big(r_{(\Omega,\theta)}\big)^{n}=r_{(\Omega,n\theta)}\ (n\in\mathbb{Z}).\] Si \(n\theta\equiv0\pmod{2\pi}\), la \(n\)-ième itération ramène chaque point à sa position initiale.

Exemple. Dans un triangle équilatéral de centre \(O\), la rotation d'angle \(\tfrac{2\pi}{3}\) permute cycliquement les sommets ; sa 3ᵉ itération est l'identité car \(3\times\tfrac{2\pi}{3}=2\pi\).

1.4 Propriété fondamentale et conservations

Propriété fondamentale Si \(A'=r(A)\) et \(B'=r(B)\) pour une rotation d'angle \(\theta\), alors \[A'B'=AB\qquad\text{et}\qquad\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)\equiv\theta\pmod{2\pi}.\] Le segment image a la même longueur, et sa direction est celle de \(\overrightarrow{AB}\) tournée de \(\theta\). De plus, la colinéarité se conserve : \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A'C'}=\lambda\overrightarrow{A'B'}\).

Conservation des angles et du barycentre Angles orientés conservés : \(\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)\equiv\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\pmod{2\pi}\). Barycentre conservé : si \(G=\operatorname{bar}\{(A_i,\alpha_i)\}\) (avec \(\sum\alpha_i\neq0\)) et \(A_i'=r(A_i)\), alors \(r(G)=\operatorname{bar}\{(A_i',\alpha_i)\}\). En particulier, l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\).

Bilan des invariants Une rotation conserve : distances, périmètres, aires ; alignement et ordre des points alignés ; parallélisme et perpendicularité ; angles orientés et géométriques ; milieux, rapports de colinéarité et barycentres ; la nature des figures (triangle équilatéral, carré, cercle…). La figure image est superposable à la figure initiale et conserve son orientation.

1.5 Images de figures usuelles

Droite, segment, cercle, polygone Avec \(A'=r(A)\), \(B'=r(B)\), \(A\neq B\) : \(r((AB))=(A'B')\), \(r([AB])=[A'B']\) — deux points suffisent. L'image du cercle \(\mathcal{C}(I,R)\) est le cercle \(\mathcal{C}(I',R)\) avec \(I'=r(I)\) : centre transformé, rayon conservé. L'image d'un polygone est le polygone des images de ses sommets (mêmes longueurs, angles, périmètre, aire).

Méthode — image d'une figure Repérer les points caractéristiques (sommets, centre d'un cercle, extrémités d'un segment), construire leurs images, reconstruire la figure avec les mêmes relations d'incidence, contrôler longueurs et angles. Inutile de faire tourner séparément tous les points d'une droite ou d'un cercle.

1.6 Déterminer une rotation

Lieu du centre Si une rotation transforme \(A\) en \(A'\neq A\), son centre \(\Omega\) vérifie \(\Omega A=\Omega A'\) : \(\Omega\) est sur la médiatrice de \([AA']\).

Méthode — centre à partir de deux couples Avec \(A\mapsto A'\), \(B\mapsto B'\) (\(A\neq A'\), \(B\neq B'\)) : tracer les médiatrices de \([AA']\) et \([BB']\) ; leur intersection est le centre \(\Omega\) ; vérifier \(\Omega A=\Omega A'\) et \(\Omega B=\Omega B'\) ; puis \(\theta\equiv\big(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega A'}\big)\pmod{2\pi}\).

Angle sans le centre · attention aux correspondances L'angle se lit directement sur deux segments correspondants : \(\theta\equiv\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)\pmod{2\pi}\), même sans avoir construit \(\Omega\). Avant de chercher le centre, écrire clairement les couples \(A\mapsto A'\), \(B\mapsto B'\) : une médiatrice entre deux points qui ne sont pas images l'un de l'autre donne un faux centre.

1.7 Formule analytique dans un repère orthonormé

Expression générale Dans un repère orthonormé direct, l'image \(M'(x',y')\) de \(M(x,y)\) par \(r_{(\Omega,\theta)}\) avec \(\Omega(a,b)\) : \[\begin{aligned}x'&=a+(x-a)\cos\theta-(y-b)\sin\theta,\\ y'&=b+(x-a)\sin\theta+(y-b)\cos\theta.\end{aligned}\]

Autour de l'origine Pour \(\Omega=O\) : \(x'=x\cos\theta-y\sin\theta\), \(y'=x\sin\theta+y\cos\theta\). Cas remarquables : \[\theta=\tfrac\pi2:(x,y)\mapsto(-y,x),\quad \theta=-\tfrac\pi2:(x,y)\mapsto(y,-x),\quad \theta=\pi:(x,y)\mapsto(-x,-y).\]

Méthode — appliquer la formule Former \(x-a\) et \(y-b\) (translation), appliquer la rotation d'angle \(\theta\), rajouter \(a\) et \(b\), puis contrôler que l'image du centre est le centre et que \(\Omega M'=\Omega M\). Le contrôle par la distance détecte une erreur de signe devant le sinus.

Exemple. \(r_{(O,\pi/2)}\) transforme \(M(3,-2)\) en \(M'(2,3)\), et \(OM=\sqrt{13}=OM'\).

1.8 Utiliser une rotation dans une démonstration

Stratégie générale

repérer un angle remarquable et deux longueurs égales pour choisir centre et angle ;
identifier au moins deux images (\(r(A)=A'\), \(r(B)=B'\)) ;
transformer le segment, la droite ou le cercle utile ;
exploiter la conservation voulue (longueur, angle, alignement, parallélisme, barycentre) ;
traduire la conclusion sur la figure initiale.

Exemple. Si \(r_{(O,\pi/2)}\) transforme \(F\) en \(G\), alors \(OF=OG\) et \(\big(\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OG}\big)=\tfrac\pi2\) : le triangle \(FOG\) est isocèle rectangle en \(O\).

L'essentiel du chapitre

Rotation de centre \(\Omega\), angle \(\theta\) : \(\Omega M'=\Omega M\) et \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\).
Réciproque : même centre, angle \(-\theta\) ; cas \(\theta=\pi\) = symétrie centrale.
C'est une isométrie : conserve distances, angles orientés, milieux/barycentres, aires — figure image superposable.
Image d'un cercle : cercle de même rayon, de centre l'image du centre.
Analytique : quart de tour direct \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

2 · Exercices résolus

Triangle équilatéral

Exercice 1

\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(O\). Identifier l'image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{2\pi}3\).

Voir la correction

Les sommets sont sur un cercle de centre \(O\), espacés de \(\tfrac{2\pi}3\). La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\tfrac{2\pi}3\) envoie \(A\) sur le sommet suivant dans le sens direct : \(r(A)=B\) (de même \(r(B)=C\), \(r(C)=A\)). \(\blacksquare\)

Isométrie · angle droit

Exercice 2

Soit \(r\) la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\dfrac\pi2\). On note \(A'=r(A)\), \(B'=r(B)\). Montrer que \(A'B'=AB\) et \((A'B')\perp(AB)\).

Voir la correction

Longueur : une rotation est une isométrie, donc \(A'B'=AB\).

Angle : \(\overrightarrow{AB}\) devient \(\overrightarrow{A'B'}\), tourné de \(\tfrac\pi2\), donc \(\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\tfrac\pi2\). Un angle droit signifie l'orthogonalité : \((A'B')\perp(AB)\). \(\blacksquare\)

Conservation du milieu

Exercice 3

\(r\) est une rotation ; \(A,B,C\) ont pour images \(A',B',C'\), et \(I\) est le milieu de \([BC]\). Que peut-on dire de \(r(I)\) ?

Voir la correction

\(I\) est l'isobarycentre de \(B\) et \(C\). Une rotation conserve le barycentre, donc \(r(I)\) est le milieu de \([B'C']\). \(\blacksquare\)

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