1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 7

Limite d'une fonction

La limite décrit le comportement d'une fonction là où on ne peut pas simplement « remplacer x par sa valeur » : au bord de son domaine, tout près d'un point interdit, ou quand x file vers l'infini. C'est une idée subtile car elle parle de ce qui se passe autour d'un point, pas au point lui-même — une fonction peut très bien avoir une limite là où elle n'est même pas définie. Ce chapitre vous apprend à calculer une limite dans tous les cas de figure : substitution directe quand elle marche, limites à gauche et à droite pour repérer les asymptotes verticales, comportement à l'infini gouverné par le terme dominant, et surtout les techniques pour lever les quatre formes indéterminées (factoriser, simplifier, multiplier par la quantité conjuguée, utiliser sin x ⁄ x → 1). Le théorème des gendarmes vient encadrer les cas rebelles. Tout se rejoint dans la lecture graphique : asymptotes verticales, horizontales, obliques et branches paraboliques. À ce niveau, on n'aborde ni la continuité ni le théorème des valeurs intermédiaires — ils attendent la 2ᵉ Bac.

1 · Résumé du cours

Étudier une limite, c'est décrire le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) s'approche d'un réel ou devient arbitrairement grand en valeur absolue. La limite ne décrit pas la valeur de la fonction au point considéré, mais ce qui se passe au voisinage de ce point. Elle sert notamment à prévoir les branches infinies et les asymptotes de la courbe.

1.1 Limite finie en un point

Voisinage · intervalle pointé Un voisinage d'un réel \(a\) est un intervalle ouvert contenant \(a\). Un intervalle pointé de centre \(a\) contient des points proches de \(a\), mais pas \(a\) lui-même. Pour étudier \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\), \(f\) doit être définie près de \(a\), mais pas nécessairement en \(a\).

Limite finie Soit \(f\) définie sur un intervalle pointé de centre \(a\) et \(\ell\in\mathbb{R}\). On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\to a\) si \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est suffisamment proche de \(a\). On écrit \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\), ce qui équivaut à \(\displaystyle\lim_{x\to a}|f(x)-\ell|=0\).

Unicité · fonctions usuelles Lorsqu'une limite existe, elle est unique. Pour tout réel \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a}x^{n}=a^{n}\ (n\in\mathbb{N}^*)\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}\sin x=\sin a\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}\cos x=\cos a\) ; si \(a\geq0\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt a\) ; si \(\cos a\neq0\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}\tan x=\tan a\).

Substitution directe Si \(P\) est un polynôme, \(\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a)\). Si \(Q(a)\neq0\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(a)}{Q(a)}\). C'est le premier calcul à essayer : il suffit tant qu'il ne produit ni forme indéterminée ni division par zéro.

Exemple. \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(2x^{3}-x+4)=3\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}+1}{x+3}=1\).

La valeur \(f(a)\) et la limite en \(a\) Ce sont deux choses différentes. \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) n'est pas définie en \(1\), mais pour \(x\neq1\), \(f(x)=x+1\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2\). Une limite peut exister même si \(f(a)\) n'existe pas.

1.2 Limites latérales et limites infinies

Limites latérales \(\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)\) : \(x\) tend vers \(a\) en restant \(>a\). \(\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)\) : en restant \(

Existence d'une limite bilatérale \[\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell.\] Si les deux limites latérales diffèrent, la limite en \(a\) n'existe pas.

Modèle de la fonction inverse \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1x\) n'existe pas. Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1{x^{n}}=+\infty\), et \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1{x^{n}}=+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair.

Méthode — signe près d'un zéro du dénominateur Pour \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) près de \(a\) avec \(Q(a)=0\), \(P(a)\neq0\) : déterminer le signe de \(P\) près de \(a\), puis séparément le signe de \(Q\) à gauche et à droite, dire si \(Q\to0^+\) ou \(0^-\), et appliquer la règle des signes. « Le dénominateur tend vers \(0\) » ne suffit pas : son signe est indispensable.

1.3 Limites à l'infini

Limites de référence Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{n}=+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair ; \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac1{x^{n}}=0\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\). Le \(0\) peut être précisé en \(0^+\) ou \(0^-\) si le signe joue un rôle.

Exemple. Lorsque \(x\to-\infty\) : \(x^{4}\to+\infty\), \(x^{3}\to-\infty\), \(\dfrac1{x^{3}}\to0^-\).

1.4 Opérations sur les limites

Limites finies Si \(\lim f=\ell\) et \(\lim g=\ell'\) (finies) : \(\lim(f+g)=\ell+\ell'\), \(\lim(fg)=\ell\ell'\), \(\lim(f^{n})=\ell^{n}\). Si \(\ell'\neq0\), \(\lim\dfrac fg=\dfrac{\ell}{\ell'}\). Si \(f\geq0\) au voisinage et \(\ell\geq0\), \(\lim\sqrt{f}=\sqrt\ell\).

Calculs avec l'infini \(\ell+(+\infty)=+\infty\), \((+\infty)+(+\infty)=+\infty\) (et symétriques). Si \(\ell\neq0\), le produit \(\ell\times(\pm\infty)\) est infini (règle des signes). Enfin \(\dfrac{\ell}{\pm\infty}=0\). Pour \(\dfrac{f}{g}\) avec \(f\to\ell>0\) et \(g\to0\) : \(+\infty\) si \(g\to0^+\), \(-\infty\) si \(g\to0^-\) (signes inversés si \(\ell<0\)).

Les quatre formes indéterminées \[\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \frac00.\] Une forme indéterminée ne veut pas dire que la limite n'existe pas : elle veut dire qu'il faut transformer l'expression avant d'appliquer les règles.

1.5 Méthodes pour lever une indétermination

Polynômes et fractions à l'infini À \(\pm\infty\), un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{a_nx^n+\cdots}{b_mx^m+\cdots}\), même limite que \(\dfrac{a_n}{b_m}x^{n-m}\) : \(0\) si \(nm\). Réservé aux limites à l'infini.

Exemple. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^{3}-x+1}{2x^{2}+5}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^{3}}{2x^{2}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac32x=-\infty\).

Méthode — factoriser près d'un réel (F.I. \(\tfrac00\)) Vérifier que numérateur et dénominateur s'annulent en \(a\) ; comme \(P(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid P(x)\), factoriser puis simplifier \(x-a\) pour \(x\neq a\), et calculer la limite simplifiée. Ex. : \(\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\ (x\neq2)\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=4\).

Méthode — quantité conjuguée Face à une racine donnant \(\infty-\infty\) ou \(\tfrac00\), multiplier et diviser par la quantité conjuguée, via \((\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B\). La différence de racines disparaît, ce qui permet de simplifier.

Limites trigonométriques de référence \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12.\] Il faut multiplier et diviser par l'argument pour faire apparaître exactement \(\dfrac{\sin u}{u}\) ou \(\dfrac{\tan u}{u}\) avec \(u\to0\).

Exemple. \(\dfrac{\sin(4x)}{x}=4\,\dfrac{\sin(4x)}{4x}\to4\), et \(\dfrac{1-\cos(3x)}{x^{2}}=9\,\dfrac{1-\cos(3x)}{(3x)^{2}}\to\dfrac92\).

Ordre de décision

tenter la substitution directe ;
identifier la forme obtenue ;
pas d'indétermination \(\Rightarrow\) règles de calcul et de signes ;
indétermination \(\Rightarrow\) transformation adaptée (terme dominant, factorisation, conjuguée, identité trigo, encadrement) ;
vérifier le domaine et, près d'un zéro du dénominateur, étudier les deux côtés.

1.6 Limites et ordre

Conservation de l'ordre Si \(f(x)\leq g(x)\) au voisinage et si les deux limites finies existent, alors \(\lim f\leq\lim g\). En particulier, \(f\geq0\) au voisinage \(\Rightarrow\) sa limite \(\ell\geq0\).

Théorème des gendarmes Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) au voisinage et \(\lim g=\lim h=\ell\), alors \(\displaystyle\lim f=\ell\). Valable en un réel, à gauche, à droite, en \(+\infty\) ou \(-\infty\). Comparaison à l'infini : \(f\geq g\) et \(g\to+\infty\Rightarrow f\to+\infty\) ; \(f\leq g\) et \(g\to-\infty\Rightarrow f\to-\infty\).

Image mentale. Deux « gendarmes » \(g\) et \(h\) encadrent \(f\) et convergent vers la même limite \(\ell\) : \(f\), coincée entre eux, est forcée de tendre vers \(\ell\).

Encadrer une fonction trigonométrique \(-1\leq\sin x\leq1\) et \(-1\leq\cos x\leq1\) sont précieuses. Pour \(x>0\) : \(-\dfrac1x\leq\dfrac{\cos x}{x}\leq\dfrac1x\), et comme les bornes tendent vers \(0\), les gendarmes donnent \(\dfrac{\cos x}{x}\to0\).

1.7 Asymptotes et branches infinies

Asymptotes verticale et horizontale Si une limite latérale de \(f\) en \(a\) est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\) (fini), la droite \(y=b\) est asymptote horizontale au voisinage correspondant.

Asymptote oblique \(\Delta:y=ax+b\) (\(a\neq0\)) est asymptote oblique en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0\). On la recherche par \[a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big).\]

Branches paraboliques Si \(f(x)\to\pm\infty\) : \(\dfrac{f(x)}x\to0\) \(\Rightarrow\) branche parabolique de direction \((Ox)\) ; \(\dfrac{f(x)}x\to\pm\infty\) \(\Rightarrow\) direction \((Oy)\) ; \(\dfrac{f(x)}x\to a\neq0\) mais \(f(x)-ax\to\pm\infty\) \(\Rightarrow\) direction \(y=ax\).

Méthode — position par rapport à une asymptote Étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\) : la courbe est au-dessus de \(\Delta\) là où c'est positif, au-dessous là où c'est négatif.

L'essentiel du chapitre

Limite en un point : distinguer gauche et droite si un dénominateur s'annule (asymptote verticale).
Limite à l'infini : polynôme \(\sim\) terme dominant ; fraction rationnelle \(\sim\) quotient des termes dominants.
Formes indéterminées \(\infty-\infty,\ 0\times\infty,\ \tfrac\infty\infty,\ \tfrac00\) : factoriser, simplifier ou conjuguer.
Trigo : \(\dfrac{\sin x}{x}\to1\), \(\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}\to\dfrac12\).
Gendarmes : encadrer \(f\) entre deux fonctions de même limite.

2 · Exercices résolus

Quantité conjuguée

Exercice 1

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big)\).

Voir la correction

C'est une F.I. \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée : \[\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{(x^{2}+x)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.\] En factorisant \(\sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac1x}\) (pour \(x>0\)) : \[=\dfrac{x}{x\big(\sqrt{1+\tfrac1x}+1\big)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tfrac1x}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{2}.\ \blacksquare\]

Limite trigonométrique

Exercice 2

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)}\).

Voir la correction

On fait apparaître deux motifs \(\dfrac{\sin\square}{\square}\) : \[\dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)}=\underbrace{\dfrac{\sin(5x)}{5x}}_{\to1}\cdot\underbrace{\dfrac{2x}{\sin(2x)}}_{\to1}\cdot\dfrac52\xrightarrow[x\to0]{}\dfrac52.\ \blacksquare\]

Gendarmes

Exercice 3

Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0\).

Voir la correction

Pour tout \(x>0\), \(-1\le\cos x\le1\) donne \(-\dfrac1x\le\dfrac{\cos x}x\le\dfrac1x\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(\!-\tfrac1x\Big)=\lim_{x\to+\infty}\tfrac1x=0\). Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}x=0\). \(\blacksquare\)

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