1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 6

Calcul trigonométrique

La trigonométrie donne un langage pour mesurer les angles (en radians, pas seulement en degrés) et pour calculer avec eux. Tout se joue sur le cercle trigonométrique, où un réel x devient un point de coordonnées (cos x, sin x) : les signes se lisent alors selon le quadrant, et les identités fondamentales, à commencer par cos²x + sin²x = 1, se voient géométriquement. Ce chapitre rassemble ensuite les grandes familles de formules — addition, duplication, linéarisation, produit↔somme — sans les empiler au hasard : chacune a un emploi précis, calculer une valeur exacte, simplifier, ou factoriser pour résoudre. Vous apprendrez aussi à réduire a·cos x + b·sin x à un seul cosinus R·cos(x − φ), ce qui donne d'un coup le maximum, le minimum et les solutions d'une équation, puis à résoudre les équations trigonométriques de référence sur ℝ et sur un intervalle imposé. C'est la boîte à outils qui reviendra dans la rotation, les limites et l'étude de fonctions.

1 · Résumé du cours

Le calcul trigonométrique permet de repérer un angle, de calculer ses lignes trigonométriques et de transformer une expression contenant des sinus, des cosinus ou des tangentes. Chaque formule répond à un objectif précis : calculer une valeur exacte, simplifier, factoriser ou résoudre une équation. L'idée n'est pas de les apprendre en vrac, mais de savoir laquelle sert à quoi.

1.1 Angles orientés et mesure en radians

Angle orienté Dans le plan orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre), l'angle orienté formé par deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) est noté \(\big(\vec u,\vec v\big)\). Une rotation dans le sens direct donne une mesure positive, dans le sens indirect une mesure négative.

Le radian Sur un cercle de rayon \(R\), un angle au centre qui intercepte un arc de longueur \(R\) mesure un radian. Correspondances fondamentales : \(180^\circ=\pi\ \text{rad}\), \(360^\circ=2\pi\ \text{rad}\). D'où \[\alpha_{\rm rad}=\alpha_{\rm deg}\times\frac{\pi}{180},\qquad \alpha_{\rm deg}=\alpha_{\rm rad}\times\frac{180}{\pi}.\]

Exemple. \(60^\circ=60\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}\), et \(\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=150^\circ\).

Relations entre angles orientés Pour tous vecteurs non nuls \(\vec u,\vec v,\vec w\) : \(\big(\vec u,\vec v\big)+\big(\vec v,\vec w\big)=\big(\vec u,\vec w\big)\pmod{2\pi}\) (relation de Chasles), \(\big(\vec v,\vec u\big)=-\big(\vec u,\vec v\big)\pmod{2\pi}\), et \(\big(-\vec u,\vec v\big)=\big(\vec u,-\vec v\big)=\big(\vec u,\vec v\big)+\pi\pmod{2\pi}\).

Mesures d'un même angle · mesure principale Deux réels \(\theta\) et \(\theta'\) représentent le même angle orienté si et seulement si \(\theta'=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\), noté \(\theta'\equiv\theta\pmod{2\pi}\). Parmi toutes ces mesures, l'unique qui appartient à \(\left]-\pi,\pi\right]\) est la mesure principale.

Méthode — déterminer la mesure principale Écrire \(\theta-2k\pi\), choisir \(k\in\mathbb{Z}\) de sorte que \(-\pi<\theta-2k\pi\leq\pi\), puis vérifier l'appartenance. Exemple : \(\dfrac{29\pi}{6}-2\times2\pi=\dfrac{29\pi-24\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\), donc la mesure principale de \(\dfrac{29\pi}{6}\) est \(\dfrac{5\pi}{6}\).

1.2 Cercle trigonométrique et lignes trigonométriques

Cercle trigonométrique C'est le cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct, muni du point origine \(I(1,0)\). À tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant sur le cercle une longueur algébrique \(x\) à partir de \(I\). Dans un repère orthonormé direct, \(M(\cos x,\sin x)\), et lorsque \(\cos x\neq0\), \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Sur le cercle unité, \(\cos x\) est l'abscisse de \(M\) et \(\sin x\) son ordonnée : leurs signes se lisent directement selon le quadrant.

Relations fondamentales Pour tout réel \(x\) : \(-1\leq\cos x\leq1\), \(-1\leq\sin x\leq1\), et \[\cos^{2}x+\sin^{2}x=1.\] Lorsque \(\cos x\neq0\) : \(1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\).

Périodicité et parité Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et \(k\in\mathbb{Z}\) : \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\), \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\), et \(\tan(x+k\pi)=\tan x\) (période \(\pi\)). Le cosinus est pair, le sinus et la tangente impairs : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\tan(-x)=-\tan x\).

Valeurs remarquables \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\\hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\\hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\\hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{—}\\\hline \end{array}\] (\(\tan\tfrac\pi2\) n'est pas définie.)

Angles associés Pour ramener un angle quelconque à un angle remarquable du premier quadrant : \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{angle} & \cos & \sin\\\hline -x & \cos x & -\sin x\\\hline \pi-x & -\cos x & \sin x\\\hline \pi+x & -\cos x & -\sin x\\\hline \tfrac{\pi}{2}-x & \sin x & \cos x\\\hline \tfrac{\pi}{2}+x & -\sin x & \cos x\\\hline \end{array}\]

Méthode — une ligne à partir d'une autre Connaissant \(\cos x\) : utiliser \(\sin^{2}x=1-\cos^{2}x\), choisir le signe de \(\sin x\) selon le quadrant de \(x\), puis \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) si \(\cos x\neq0\). Une racine carrée est toujours positive, alors que \(\sin x\) ou \(\cos x\) peut être négatif : le quadrant est indispensable.

1.3 Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition Pour tous réels \(a,b\) : \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\] \[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\] Et pour la tangente (quand tout est défini) : \(\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}\).

Mémoriser les signes Dans le cosinus, les fonctions restent groupées par nature (\(\cos\cos\), \(\sin\sin\)) et le signe intérieur est inversé. Dans le sinus, elles sont mélangées (\(\sin\cos\), \(\cos\sin\)) et le signe est conservé : « le cosinus contrarie, le sinus suit ».

Origine géométrique. Pour \(M(\cos a,\sin a)\) et \(N(\cos b,\sin b)\) sur le cercle unité, \(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) ; mais aussi \(=OM\times ON\times\cos(a-b)=\cos(a-b)\). D'où \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).

Duplication En prenant \(b=a\) : \[\sin(2a)=2\sin a\cos a,\qquad \cos(2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a,\] et \(\tan(2a)=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^{2}a}\).

Linéarisation des carrés En isolant dans la duplication : \[\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos(2a)}{2},\qquad \sin^{2}a=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}.\] On en déduit l'angle triple : \(\cos(3a)=4\cos^{3}a-3\cos a\), \(\sin(3a)=3\sin a-4\sin^{3}a\).

Méthode — calculer une valeur exacte Décomposer l'angle en angles remarquables. Pour \(\cos\dfrac{\pi}{12}\), écrire \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\), appliquer \(\cos(a-b)\), puis remplacer par les valeurs exactes. Choisir une décomposition faisant intervenir \(0,\tfrac\pi6,\tfrac\pi4,\tfrac\pi3,\tfrac\pi2\).

1.4 Formules de transformation

Produit en somme \[\cos a\cos b=\tfrac12\big[\cos(a-b)+\cos(a+b)\big],\qquad \sin a\sin b=\tfrac12\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big],\] \[\sin a\cos b=\tfrac12\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big].\]

Somme en produit \[\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2},\qquad \cos p-\cos q=-2\sin\tfrac{p+q}{2}\sin\tfrac{p-q}{2},\] \[\sin p+\sin q=2\sin\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2},\qquad \sin p-\sin q=2\cos\tfrac{p+q}{2}\sin\tfrac{p-q}{2}.\]

Méthode — choisir le sens

Pour linéariser un produit ou une puissance : produit \(\to\) somme.
Pour factoriser une somme/différence : somme \(\to\) produit — forme idéale dans une équation, car un produit nul se sépare en plusieurs cas.

Exemple. \(\sin x\cos(3x)=\tfrac12\big[\sin(4x)-\sin(2x)\big]\), et \(\cos(5x)-\cos x=-2\sin(3x)\sin(2x)\).

1.5 Transformation de \(a\cos x+b\sin x\)

Forme \(R\cos(x-\varphi)\) Soient \(a,b\) non tous deux nuls et \(R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Il existe \(\varphi\) tel que \(\cos\varphi=\dfrac aR\) et \(\sin\varphi=\dfrac bR\), et pour tout réel \(x\) : \[a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi).\] (Justification : \(R(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x)=R\cos(x-\varphi)\).)

Encadrement et extremums Puisque \(-1\leq\cos(x-\varphi)\leq1\) : \[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leq a\cos x+b\sin x\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\] Le maximum est \(R\), le minimum \(-R\).

Déterminer correctement \(\varphi\) Calculer \(R\), puis résoudre simultanément \(\cos\varphi=\dfrac aR\) et \(\sin\varphi=\dfrac bR\), et contrôler le quadrant de \(\varphi\) grâce aux signes de \(a\) et \(b\). N'utiliser que le cosinus de \(\varphi\) peut conduire au mauvais quadrant.

1.6 Équations trigonométriques

Équations de référence Pour tous réels \(x,\alpha\) et \(k\in\mathbb{Z}\) : \[\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi,\] \[\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\] \[\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi.\]

Existence des solutions Pour \(\cos x=m\) ou \(\sin x=m\) : si \(|m|>1\), aucune solution réelle ; si \(|m|\leq1\), chercher \(\alpha\) tel que \(\cos\alpha=m\) (resp. \(\sin\alpha=m\)) puis appliquer la formule de référence.

Méthode — résoudre sur ℝ puis sur un intervalle

préciser le domaine si l'expression contient une tangente ou un quotient ;
transformer ou factoriser pour obtenir une équation de référence ;
écrire toutes les familles de solutions avec \(k\in\mathbb{Z}\) ;
si un intervalle est imposé, encadrer \(k\) dans chaque famille et ne garder que les valeurs de l'intervalle ;
vérifier les bornes lorsque l'intervalle est ouvert ou semi-ouvert.

Exemple. \(\cos(2x)=\cos\dfrac{\pi}{3}\iff 2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), d'où \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

Erreurs fréquentes à éviter

Une mesure d'angle n'est pas unique : ne pas oublier les \(2k\pi\) (ou \(k\pi\)) sur \(\mathbb{R}\).
\(\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|\), et non toujours \(\sin x\).
\(\tan x\) n'est pas définie lorsque \(x=\dfrac\pi2+k\pi\).
Dans \(\sin x=\sin\alpha\), la 2ᵉ famille est \(x=\pi-\alpha+2k\pi\), pas \(-\alpha+2k\pi\).
Avant de choisir le signe d'une racine, toujours repérer le quadrant.

L'essentiel du chapitre

Addition : « le cos contrarie, le sin suit » pour les signes.
Duplication : \(\cos 2a\) a trois formes — choisir celle qui simplifie ; d'où la linéarisation \(\cos^{2}a=\tfrac{1+\cos2a}2\), \(\sin^{2}a=\tfrac{1-\cos2a}2\).
Produit \(\to\) somme pour linéariser ; somme \(\to\) produit pour factoriser (donc résoudre).
\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)\), \(R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) : donne max, min et résout les équations.
Équations : se ramener à \(\cos x=\cos\alpha\) (etc.), écrire toutes les solutions, puis filtrer selon l'intervalle.

2 · Exercices résolus

Valeur exacte

Exercice 1

Calculer \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) à l'aide d'une formule d'addition.

Voir la correction

On écrit \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\), puis \[\cos\Big(\tfrac\pi3-\tfrac\pi4\Big)=\cos\tfrac\pi3\cos\tfrac\pi4+\sin\tfrac\pi3\sin\tfrac\pi4=\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}2+\tfrac{\sqrt3}2\cdot\tfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.\ \blacksquare\]

Équation de référence

Exercice 2

Résoudre dans \([0,2\pi[\) l'équation \(2\cos x-1=0\).

Voir la correction

\(2\cos x-1=0\iff\cos x=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3\), donc \(x=\dfrac\pi3+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\dfrac\pi3\) et \(x=-\dfrac\pi3+2\pi=\dfrac{5\pi}3\). Ensemble des solutions : \(\left\{\dfrac\pi3,\ \dfrac{5\pi}3\right\}\). \(\blacksquare\)

Forme \(R\cos(x-\varphi)\)

Exercice 3

Écrire \(\cos x+\sqrt3\,\sin x\) sous la forme \(R\cos(x-\varphi)\), puis résoudre \(\cos x+\sqrt3\,\sin x=1\) dans \([0,2\pi[\).

Voir la correction

\(R=\sqrt{1^{2}+(\sqrt3)^{2}}=2\), et \(\cos\varphi=\dfrac12\), \(\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}2\) donnent \(\varphi=\dfrac\pi3\). Donc \(\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big)\).

L'équation devient \(2\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big)=1\), soit \(\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big)=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3\) : \[x-\tfrac\pi3=\tfrac\pi3+2k\pi\ \text{ ou }\ x-\tfrac\pi3=-\tfrac\pi3+2k\pi,\] d'où \(x=\dfrac{2\pi}3+2k\pi\) ou \(x=2k\pi\). Dans \([0,2\pi[\) : \(x\in\left\{0,\ \dfrac{2\pi}3\right\}\). \(\blacksquare\)

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