1 · Résumé du cours
Le produit scalaire transforme des questions de géométrie (longueurs, angles, orthogonalité) en simples calculs de coordonnées. C'est le pont entre la géométrie et l'algèbre : équations de droites, de cercles, distances et angles s'en déduisent mécaniquement.
1.1 Produit scalaire et orthogonalité
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel
\[\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\big(\vec u,\vec v\big)\]
(et \(\vec u\cdot\vec v=0\) si l'un des vecteurs est nul). Le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.
Signe et colinéarité
Pour deux vecteurs non nuls colinéaires : \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) (même sens) ou \(-\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) (sens contraires). Plus généralement, le signe du produit indique la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
Calcul par projection orthogonale
Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) (avec \(A\neq B\)), alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\pm AB\times AH\) (signe \(+\) si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) ont même sens, \(-\) sinon). Plus généralement \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{C'D'}\) avec \(C',D'\) les projetés de \(C,D\) sur \((AB)\).
Orthogonalité · règles de calcul
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\). Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire :
\[\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\quad \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\quad (k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v),\quad \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2.\]
Identités avec les normes
\[\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\qquad \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2.\]
On en déduit \(\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)\), et dans un triangle \(ABC\) :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big).\]
Méthode — choisir la bonne expression
- coordonnées connues \(\Rightarrow\) \(xx'+yy'\) ;
- normes et angle connus \(\Rightarrow\) \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) ;
- figure avec hauteur / projeté \(\Rightarrow\) projection orthogonale ;
- trois longueurs d'un triangle \(\Rightarrow\) \(\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\).
1.2 Expression analytique dans un repère orthonormé
Formule fondamentale
Dans un repère orthonormé \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), pour \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) :
\[\vec u\cdot\vec v=x\,x'+y\,y'.\]
(Non valable telle quelle dans un repère quelconque.) Si \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\,y_B-y_A)\).
Norme, distance, angle
\[\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\]
\[\cos\big(\vec u,\vec v\big)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\,\sqrt{x'^2+y'^2}}.\]
Méthode — déterminer un angle / un paramètre
Pour l'angle \(\theta\in[0,\pi]\) : calculer \(\vec u\cdot\vec v\), puis \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\), former \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\), puis \(\theta=\arccos(\cdots)\) ; le signe du produit sert de contrôle (aigu / obtus). Si une coordonnée dépend d'un réel \(m\), traduire \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\) et résoudre en \(m\).
Aire par le déterminant
Avec \(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\) : l'aire du triangle \(ABC\) vaut \(\mathcal{A}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|\), celle du parallélogramme \(\big|\det(\vec u,\vec v)\big|\). Exemple : \(\vec u(3,1)\), \(\vec v(-2,4)\) : \(\vec u\cdot\vec v=-6+4=-2\neq0\) (non orthogonaux), \(\|\vec u\|=\sqrt{10}\).
1.3 Droite : point et vecteur normal
Définition — vecteur normal
Un vecteur normal à une droite \((D)\) est un vecteur non nul orthogonal à sa direction.
Équation cartésienne
La droite passant par \(A(x_A,y_A)\) de vecteur normal \(\vec n(a,b)\) a pour équation \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\), soit \(ax+by+c=0\). Réciproquement, si \((a,b)\neq(0,0)\), la droite \(ax+by+c=0\) admet \(\vec n(a,b)\) pour vecteur normal et \(\vec u(-b,a)\) pour vecteur directeur.
Lire le vecteur normal sur l'équation
Dans \(ax+by+c=0\), le vecteur normal se lit directement : \(\vec n(a,b)\). C'est le moyen le plus rapide de tester deux droites perpendiculaires (\(\vec n\cdot\vec n'=0\)) ou parallèles (\(\vec n,\vec n'\) colinéaires).
Distance d'un point à une droite
\[d\big(M,(D)\big)=\dfrac{|a x_0+b y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\text{pour }M(x_0,y_0),\ (D):ax+by+c=0.\]
Positions relatives de deux droites
Pour \((D):ax+by+c=0\) et \((D'):a'x+b'y+c'=0\) :
- \((D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0\) ;
- \((D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0\).
Si \(ab'-a'b\neq0\), les droites sont sécantes en un point unique.
Méthode — perpendiculaire, médiatrice
Perpendiculaire à \((D)\) par \(A\) : prendre un vecteur directeur de \((D)\) — par exemple \((-b,a)\) — comme vecteur normal, puis écrire l'équation point-normale. Médiatrice de \([AB]\) : elle passe par le milieu \(I\) de \([AB]\) et admet \(\overrightarrow{AB}\) pour vecteur normal (méthode rapide), ou c'est l'ensemble des \(M\) tels que \(MA^2=MB^2\).
1.4 Étude analytique du cercle
Équation d'un cercle
Le cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et de rayon \(r>0\) a pour équation \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Représentation paramétrique : \(x=a+r\cos t,\ y=b+r\sin t\), \(t\in[0,2\pi[\).
Forme développée
Pour \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\), on complète les carrés :
\[\left(x+\tfrac{\alpha}2\right)^2+\left(y+\tfrac{\beta}2\right)^2=\rho,\qquad \rho=\tfrac{\alpha^2+\beta^2}4-\gamma.\]
Si \(\rho>0\) : cercle de centre \(\Omega\left(-\tfrac\alpha2,-\tfrac\beta2\right)\) et de rayon \(\sqrt\rho\) ; si \(\rho=0\) : le point \(\Omega\) ; si \(\rho<0\) : l'ensemble vide.
Cercle de diamètre \([AB]\)
\(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) (l'angle \(\widehat{AMB}\) est droit — angle inscrit dans un demi-cercle).
Point / cercle · tangente
\(M\) est intérieur si \(\Omega Msur le cercle si \(\Omega M=r\), extérieur si \(\Omega M>r\). Avec \(F(x,y)=x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma\), on a \(F(x_0,y_0)=\Omega M_0^2-r^2\) : le signe de \(F(x_0,y_0)\) donne la position. La tangente en \(M_0(x_0,y_0)\) du cercle : \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).
Méthode — cercle par trois points non alignés
Vérifier \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\neq0\), puis : (1) centre \(\Omega\) = intersection de deux médiatrices, rayon \(\Omega A\) ; ou (2) partir de \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\), y substituer \(A,B,C\) et résoudre le système en \(\alpha,\beta,\gamma\).
Positions relatives d'une droite et d'un cercle
Avec \(d=d\big(\Omega,(D)\big)\) :
- \(d>r\) : \(\mathcal{C}\cap(D)=\varnothing\) — droite extérieure ;
- \(d=r\) : \(\mathcal{C}\cap(D)=\{H\}\) — droite tangente (\(H\) = projeté de \(\Omega\) sur \((D)\)) ;
- \(dsécante (le projeté est le milieu de \([AB]\)).
Pour les points exacts, résoudre le système {équation droite, équation cercle} : on obtient une équation du second degré.
Reconnaître un cercle dans une équation développée
Toujours compléter les carrés pour ramener \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) à \((x-a)^2+(y-b)^2=R\). Si \(R>0\), cercle de rayon \(\sqrt R\) ; si \(R=0\), un seul point ; si \(R<0\), ensemble vide.
L'essentiel du chapitre
- Quatre méthodes de calcul : angle, projection orthogonale, coordonnées, ou normes.
- Analytique (repère orthonormé) : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\), \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Orthogonalité \(\iff\) produit scalaire nul ; angle par \(\cos=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
- Droite \(ax+by+c=0\) : vecteur normal \(\vec n(a,b)\) lu directement ; distance \(\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
- Cercle : \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) ; diamètre \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) ; forme développée \(\Rightarrow\) compléter les carrés.
- Droite et cercle : comparer \(d\big(\Omega,(D)\big)\) au rayon \(r\) (zéro, un ou deux points).