1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 4

Le barycentre dans le plan

Le barycentre généralise le milieu et le centre de gravité : c'est le point d'équilibre d'un système de points affectés de « masses » (des poids réels). Dès que la somme des poids n'est pas nulle, ce point existe et il est unique. Sa force tient en une seule formule, la propriété caractéristique, qui remplace toute une somme de vecteurs pondérés par un unique vecteur : c'est ce qui en fait l'outil idéal pour prouver qu'un point appartient à une droite, que trois droites (comme les médianes) sont concourantes, ou pour reconnaître un lieu géométrique (cercle, médiatrice). Vous apprendrez à calculer les coordonnées d'un barycentre, à le construire, à utiliser l'associativité pour regrouper les points, et à retrouver que le centre de gravité d'un triangle est aux deux tiers de chaque médiane.

1 · Résumé du cours

Le barycentre généralise l'idée de milieu et de centre de gravité : c'est le point d'équilibre d'un système de points affectés de « masses ». C'est un outil redoutable pour prouver des alignements, trouver des points de concours et simplifier des sommes de vecteurs.

1.1 Barycentre de deux points pondérés

Définition — vocabulaire Un couple \((A,\alpha)\) formé d'un point \(A\) et d'un réel \(\alpha\) est un point pondéré ; \(\alpha\) est le poids (ou coefficient) de \(A\). Une famille de points pondérés est un système pondéré.

Définition — barycentre Soient \(A,B\) deux points et \(\alpha,\beta\) deux réels tels que \(\alpha+\beta\neq0\). Il existe un unique point \(G\), le barycentre de \(\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\), vérifiant \[\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec{0}.\]

Formule de position \[\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{BG}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{BA}.\] Ces relations prouvent l'existence, l'unicité et l'alignement de \(A\), \(B\) et \(G\).

Exemple. Si \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,3)\}\), alors \(\overrightarrow{AG}=\dfrac35\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est sur \([AB]\), aux trois cinquièmes du trajet de \(A\) vers \(B\).

Propriété caractéristique \(G\) est le barycentre de \(\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) si et seulement si, pour tout point \(M\) du plan : \[\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}.\]

La formule qui « réduit » une somme de vecteurs C'est l'intérêt du barycentre : remplacer une somme \(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}\) par un seul vecteur \((\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\). Face à une telle expression, le réflexe est d'introduire son barycentre.

Coordonnées et position Dans un repère (en prenant \(M=O\)) : \[x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta},\qquad y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}.\] Pour \(\alpha,\beta\) non nuls : si \(\alpha\beta>0\), \(G\in\,]A,B[\) (division intérieure) ; si \(\alpha\beta<0\), \(G\in(AB)\setminus[A,B]\) (division extérieure) ; dans les deux cas \(\dfrac{GA}{GB}=\left|\dfrac{\beta}{\alpha}\right|\).

Homogénéité · isobarycentre Le barycentre est inchangé si l'on multiplie tous les poids par un même réel \(k\neq0\) : \(\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}=\operatorname{bar}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}\). Lorsque les poids sont égaux, \(G\) est l'isobarycentre ; l'isobarycentre de deux points est leur milieu.

Méthode — construire \(G\)

simplifier éventuellement les poids par homogénéité ;
calculer \(\lambda=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\) ;
placer \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG}=\lambda\overrightarrow{AB}\).

Si \(0<\lambda<1\), \(G\) est entre \(A\) et \(B\) ; sinon il est à l'extérieur du segment.

Reconnaître un barycentre dans une relation Une relation comme \(2\overrightarrow{PA}-3\overrightarrow{PB}=\vec{0}\) signifie directement \(P=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,-3)\}\), car la somme des poids vaut \(-1\neq0\).

1.2 Barycentre de trois points pondérés

Définition Soient \(A,B,C\) et \(\alpha,\beta,\gamma\) avec \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\). Il existe un unique point \(G\), barycentre de \(\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}\), tel que \[\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}+\gamma\,\overrightarrow{GC}=\vec{0}.\]

Propriété caractéristique Pour tout point \(M\) : \(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}+\gamma\,\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\,\overrightarrow{MG}\), et les coordonnées sont \(x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}\) (idem pour \(y_G\)).

Associativité (barycentre partiel) On ne change pas le barycentre en remplaçant deux points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs poids. Si \(\alpha+\beta\neq0\) et \(H=\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\), alors \[\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\operatorname{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}.\]

Méthode — construire \(G\), démontrer un concours

choisir deux poids de somme non nulle, par exemple \(\alpha+\beta\neq0\) ;
construire \(H=\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) sur \((AB)\) ;
construire \(G=\operatorname{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\) sur \((HC)\) : donc \(G\in(HC)\).

En changeant de regroupement, on fait apparaître plusieurs droites passant par le même \(G\) : elles sont concourantes. (Si \(\alpha+\beta=0\), on regroupe une autre paire ; au moins une des sommes est non nulle.)

L'associativité prouve les concours Elle ramène un barycentre de trois points à un barycentre de deux — donc à un point sur une droite. C'est ainsi qu'on montre que trois droites (médianes, céviennes…) sont concourantes : elles passent toutes par le même barycentre.

Centre de gravité d'un triangle L'isobarycentre des sommets d'un triangle (\(\alpha=\beta=\gamma\)) est son centre de gravité \(G\), point de concours des médianes, situé aux \(\frac23\) de chaque médiane depuis le sommet. Si \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \[\overrightarrow{AG}=\frac13\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)=\frac23\overrightarrow{AI}.\]

1.3 Barycentre de quatre points

Définition Pour \(\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_4,\alpha_4)\}\) avec \(\sum\alpha_i\neq0\), le barycentre \(G\) est l'unique point tel que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}\). Propriété caractéristique, coordonnées et associativité se généralisent à l'identique.

Isobarycentre de quatre points Soient \(A,B,C,D\), \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([CD]\). Leur isobarycentre vérifie \(G=\operatorname{bar}\{(I,2),(J,2)\}\) : c'est le milieu de \([IJ]\). En particulier, si \(ABCD\) est un parallélogramme, son isobarycentre est l'intersection des diagonales.

Tout se généralise Rien de nouveau à \(4\) points (ou plus) : mêmes formules, avec la somme des poids au dénominateur. L'associativité reste l'outil clé : on regroupe les points par paquets pour se ramener à des cas connus.

1.4 Applications aux lieux géométriques

Méthode — réduire une somme de vecteurs pondérés Pour \(\vec{u}(M)=\alpha_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+\alpha_n\overrightarrow{MA_n}\) et \(s=\alpha_1+\dots+\alpha_n\) :

vérifier que \(s\neq0\) ;
introduire \(G=\operatorname{bar}\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)\}\) ;
appliquer la propriété caractéristique : \(\vec{u}(M)=s\,\overrightarrow{MG}\).

Le point variable \(M\) ne figure alors plus que dans un seul vecteur.

Lieux obtenus Avec \(r\ge0\) : \(\left\|\alpha_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+\alpha_n\overrightarrow{MA_n}\right\|=r\iff MG=\dfrac{r}{|s|}\). Le lieu de \(M\) est donc le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{r}{|s|}\) si \(r>0\), le singleton \(\{G\}\) si \(r=0\). Si deux sommes se réduisent en \(s\overrightarrow{MG}\) et \(t\overrightarrow{MH}\) avec \(|s|=|t|\neq0\), alors \(\|\vec u(M)\|=\|\vec v(M)\|\iff MG=MH\) : le lieu est la médiatrice de \([GH]\) (si \(G\neq H\)).

La démarche complète pour un lieu Toujours le même ordre : somme des poids → définir le(s) barycentre(s) → réduire les sommes vectorielles → prendre les normes → reconnaître le lieu (cercle, médiatrice, point ou ensemble vide).

L'essentiel du chapitre

Existence : le barycentre existe dès que la somme des poids n'est pas nulle.
Propriété caractéristique : \(\sum\alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}=\big(\sum\alpha_i\big)\overrightarrow{MG}\) — elle réduit toute somme de vecteurs pondérés.
Deux points : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) ; le signe indique division intérieure ou extérieure.
Coordonnées : moyenne pondérée des coordonnées.
Homogénéité : multiplier tous les poids par \(k\neq0\) ne change rien.
Associativité : regrouper par un barycentre partiel — l'outil des alignements et concours.
Lieux : après réduction, \(MG=r\) décrit un cercle (ou \(G\) si \(r=0\)) ; \(MG=MH\) décrit la médiatrice de \([GH]\).
Isobarycentre d'un triangle \(=\) centre de gravité, aux \(\frac23\) des médianes.

2 · Exercices résolus

Coordonnées

Exercice 1

Dans un repère, \(A(1,2)\), \(B(4,-1)\). Déterminer les coordonnées du barycentre \(G\) de \(\{(A,2),(B,1)\}\).

Voir la correction

La somme des poids est \(2+1=3\neq0\). Donc \[x_G=\dfrac{2\times1+1\times4}{3}=2,\qquad y_G=\dfrac{2\times2+1\times(-1)}{3}=1.\] Ainsi \(G(2,1)\). Les poids étant de même signe, \(G\in[AB]\). \(\blacksquare\)

Réduction · lieu

Exercice 2

Soient \(A,B,C\). Réduire \(\vec{u}(M)=2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\), puis déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\big\|2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\big\|=8\).

Voir la correction

La somme des poids vaut \(2+1+1=4\neq0\) : soit \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\). La propriété caractéristique donne \(2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\,\overrightarrow{MG}\).

L'équation devient \(\|4\,\overrightarrow{MG}\|=8\), soit \(4\,MG=8\), d'où \(MG=2\). L'ensemble cherché est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\). \(\blacksquare\)

Centre de gravité

Exercice 3

\(ABC\) est un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\). Montrer que le centre de gravité \(G\) vérifie \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\).

Voir la correction

\(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\). Par associativité, comme \(I=\operatorname{bar}\{(B,1),(C,1)\}\) est le milieu de \([BC]\) : \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(I,2)\}\).

La propriété caractéristique avec \(M=A\) donne \(1\cdot\overrightarrow{AA}+2\cdot\overrightarrow{AI}=(1+2)\overrightarrow{AG}\), soit \(2\,\overrightarrow{AI}=3\,\overrightarrow{AG}\), d'où \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). \(G\) est bien aux \(\frac23\) de la médiane \([AI]\) depuis \(A\). \(\blacksquare\)

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