1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 3

Suites numériques

Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres indexée par les entiers : le capital d'un compte année après année, une population qui évolue, un échéancier de remboursement. Ce chapitre pose le vocabulaire (terme général, définition explicite ou récurrente, sens de variation, suite majorée / minorée / bornée) puis se concentre sur les deux modèles que vous retrouverez partout : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même raison) et les suites géométriques (on multiplie toujours par la même raison). Vous apprendrez à reconnaître chaque type, à calculer le terme de rang n, à sommer un grand nombre de termes d'un coup, et à traiter une suite arithmético-géométrique u(n+1) = a·u(n) + b grâce au point fixe. La notion de limite d'une suite, elle, est réservée à la 2ᵉ Bac.

1 · Résumé du cours

Une suite est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers. On la rencontre partout : intérêts d'un capital, populations, échéanciers. Ce chapitre installe le vocabulaire (terme général, monotonie, bornes) puis étudie les deux modèles fondamentaux : les suites arithmétiques et géométriques.

1.1 Généralités

Définition — suite numérique Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\), ou sur une partie de \(\mathbb{N}\), et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). L'image de l'entier \(n\) se note \(u_n\) : c'est le terme de rang \(n\). Si la suite commence au rang \(p\), on la note \((u_n)_{n\ge p}\) et son premier terme est \(u_p\).

Définition — deux modes de définition

Explicite : \(u_n\) est donné directement en fonction de \(n\), par exemple \(u_n=n^2-1\) ;
Récurrente : on donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation permettant de calculer les suivants, par exemple \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n+1\).

Exemple. Si \(u_n=2n^2-3\), alors \(u_0=-3\), \(u_1=-1\), \(u_2=5\). Si \(v_0=1\) et \(v_{n+1}=2v_n+3\), alors \(v_1=5\) et \(v_2=13\).

Le rang initial fait partie de la définition La formule seule ne suffit pas toujours. Les suites \((u_n)_{n\ge0}\) et \((u_n)_{n\ge1}\) données par \(u_n=\dfrac1n\) n'ont pas le même domaine : la première n'est pas définie au rang \(0\), la seconde l'est bien.

1.2 Représentation graphique

Dans un repère, une suite \((u_n)\) est représentée par les points \(M_n(n,u_n)\). Les abscisses étant des entiers, c'est un ensemble de points isolés, pas une courbe continue. Pour une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\), on peut construire les termes « en escalier » à l'aide de la courbe \(y=f(x)\) et de la droite \(y=x\) : on lit \(u_{n+1}\) sur la courbe de \(f\), puis on le reporte sur l'axe grâce à \(y=x\).

Explicite ou récurrente : ne pas confondre Avec une formule explicite, on calcule \(u_{100}\) directement. Avec une formule récurrente, il faut connaître \(u_n\) pour obtenir \(u_{n+1}\) : calculer \(u_{100}\) demande en principe tous les termes précédents — d'où l'intérêt de trouver le terme général.

1.3 Sens de variation

Définition La suite \((u_n)_{n\ge p}\) est :

croissante si, pour tous \(m,n\ge p\), \(m\le n\Rightarrow u_m\le u_n\) ;
décroissante si, pour tous \(m,n\ge p\), \(m\le n\Rightarrow u_m\ge u_n\) ;
constante si tous ses termes sont égaux ;
monotone si elle est croissante ou décroissante.

Les inégalités strictes définissent une suite strictement croissante ou décroissante.

Comparaison de deux termes consécutifs \[(u_n)\text{ croissante}\iff\forall n\ge p,\ u_{n+1}\ge u_n,\qquad (u_n)\text{ décroissante}\iff\forall n\ge p,\ u_{n+1}\le u_n.\]

Méthode — étudier la monotonie

Signe de \(u_{n+1}-u_n\) : positif \(\Rightarrow\) croissante ;
si tous les termes sont \(>0\), comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) ;
si \(u_n=f(n)\) est explicite, la monotonie de \(f\) donne celle de la suite.

Exemple. Pour \(u_n=n^2-n\) : \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n\ge0\). La suite est croissante.

1.4 Suite majorée, minorée, bornée

Définition \((u_n)\) est majorée s'il existe \(M\) tel que \(\forall n,\ u_n\le M\) ; minorée s'il existe \(m\) tel que \(\forall n,\ u_n\ge m\) ; bornée si elle est majorée et minorée.

Caractérisation par la valeur absolue \((u_n)\) est bornée si et seulement s'il existe un réel \(A>0\) tel que \(\forall n,\ |u_n|\le A\).

Méthode — encadrer une suite récurrente Pour démontrer qu'une suite récurrente reste dans \([a,b]\), on utilise une récurrence :

vérifier que \(u_p\in[a,b]\) ;
supposer \(u_n\in[a,b]\) ;
utiliser \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour prouver \(u_{n+1}\in[a,b]\).

Exemple. Soit \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=1+\dfrac{u_n}{2}\). Au rang \(0\), \(0\le u_0\le2\). Si \(0\le u_n\le2\), alors \(0\le\dfrac{u_n}{2}\le1\), donc \(1\le u_{n+1}\le2\), et en particulier \(0\le u_{n+1}\le2\). Par récurrence, \(0\le u_n\le2\) pour tout \(n\) : la suite est bornée.

1.5 Suites arithmétiques

Définition \((u_n)\) est arithmétique s'il existe un réel \(r\), la raison, tel que \(\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r\). On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours \(r\).

Terme général Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) : \[u_n=u_0+n\,r\qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p+(n-p)\,r\quad(n\ge p).\] Si le premier terme est \(u_1\), alors \(u_n=u_1+(n-1)r\).

Reconnaître · varier · trois termes

\((u_n)\) arithmétique \(\iff u_{n+1}-u_n\) est constant ;
variation selon le signe de \(r\) : croissante si \(r>0\), décroissante si \(r<0\), constante si \(r=0\) ;
trois réels \(a,b,c\) (dans cet ordre) sont consécutifs d'une suite arithmétique \(\iff 2b=a+c\) ; ainsi \(2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}\).

Somme de termes consécutifs La somme vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes : \[u_0+u_1+\dots+u_n=(n+1)\,\dfrac{u_0+u_n}{2},\qquad u_p+\dots+u_n=(n-p+1)\dfrac{u_p+u_n}{2}.\] En particulier \(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\).

Compter les termes · notation sigma Dans une somme du rang \(p\) au rang \(n\), le nombre de termes est \(n-p+1\) (à calculer avant d'appliquer la formule). On note \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n\), où \(k\) est un indice muet.

« Nombre de termes × moyenne des bords » Somme \(=\) (nombre de termes) \(\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}2\). Attention : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes (et non \(n\)).

1.6 Suites géométriques

Définition \((u_n)\) est géométrique s'il existe un réel \(q\), la raison, tel que \(\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n\). On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par \(q\).

Terme général Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq0\) : \[u_n=u_0\,q^{\,n}\qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p\,q^{\,n-p}\quad(n\ge p).\] Si le premier terme est \(u_1\), alors \(u_n=u_1q^{n-1}\). Si \(q=0\), tous les termes à partir de \(u_{p+1}\) sont nuls.

Reconnaître · trois termes · sens de variation

si tous les termes sont non nuls, \((u_n)\) géométrique \(\iff\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant ;
\(a,b,c\) consécutifs d'une suite géométrique \(\Rightarrow b^2=ac\) ; réciproquement, si \(a\neq0\) et \(b^2=ac\), ils sont consécutifs de raison \(q=\dfrac ba\) ;
avec \(u_p>0\) : si \(q>1\) croissante, si \(0alternent (non monotone) ; si \(q=1\) constante.

Somme de termes consécutifs (\(q\neq1\)) \[1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q},\qquad u_0+u_1+\dots+u_n=u_0\,\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q},\] et plus généralement \(u_p+\dots+u_n=u_p\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}\).

« Premier terme × \(\dfrac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}\) » De \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) termes, d'où l'exposant \(n+1\). Si \(q=1\), la suite est constante et la somme vaut simplement \((n+1)\,u_0\).

1.7 Suites arithmético-géométriques

Une suite définie par \(u_{n+1}=a\,u_n+b\) n'est en général ni arithmétique ni géométrique. On la transforme en suite géométrique grâce au point fixe.

Méthode — recherche du point fixe

si \(a=1\), alors \(u_{n+1}=u_n+b\) : la suite est arithmétique ;
si \(a\neq1\), on cherche \(\ell\) vérifiant \(\ell=a\ell+b\), soit \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\) ;
on pose \(v_n=u_n-\ell\). Alors \(v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\) ;
on en déduit \(v_n=(u_0-\ell)a^n\) et \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\).

Exemple. Soit \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=3u_n-2\). Le point fixe : \(\ell=3\ell-2\Rightarrow\ell=1\). En posant \(v_n=u_n-1\), on a \(v_{n+1}=3v_n\) et \(v_0=3\), donc \(v_n=3^{n+1}\) et \(u_n=1+3^{n+1}\).

L'essentiel du chapitre

Une suite est définie par une formule explicite ou par une relation récurrente + termes initiaux.
Arithmétique : \(+r\) à chaque pas, \(u_n=u_p+(n-p)r\), variation selon le signe de \(r\), et \(2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}\).
Géométrique : \(\times q\) à chaque pas, \(u_n=u_pq^{n-p}\) (si \(q\neq0\)), et \(u_{n+1}^2=u_nu_{n+2}\).
Sommes : arithmétique \(=\) (nb termes)\(\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\) ; géométrique \(=\) (1er)\(\times\dfrac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}\).
Monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou comparaison de \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) (termes positifs).
Pour \(u_{n+1}=au_n+b\), le point fixe \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\) fournit la suite géométrique \(v_n=u_n-\ell\) (si \(a\neq1\)).

2 · Exercices résolus

Suite arithmétique

Exercice 1

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=u_n-3\). Déterminer sa nature, son terme général, puis la somme \(S=u_0+u_1+\dots+u_{10}\).

Voir la correction

\(u_{n+1}-u_n=-3\) est constant : \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r=-3\). Donc \(u_n=u_0+n\,r=5-3n\).

La somme compte \(11\) termes (\(n=0\) à \(10\)), avec \(u_{10}=5-30=-25\) : \[S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\times\dfrac{5+(-25)}2=11\times(-10)=-110.\ \blacksquare\]

Suite géométrique

Exercice 2

Soit \((v_n)\) géométrique de premier terme \(v_0=2\) et de raison \(q=3\). Calculer \(v_5\) et la somme \(S=v_0+v_1+\dots+v_5\).

Voir la correction

Terme général : \(v_n=2\times3^n\), donc \(v_5=2\times3^5=2\times243=486\).

La somme compte \(6\) termes : \[S=v_0\,\dfrac{1-q^6}{1-q}=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{1-729}{-2}=2\times364=728.\ \blacksquare\]

Suite auxiliaire géométrique

Exercice 3

Soit \((w_n)\) définie par \(w_0=1\) et \(w_{n+1}=2w_n+3\). On pose \(t_n=w_n+3\). Montrer que \((t_n)\) est géométrique, puis exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).

Voir la correction

\(t_{n+1}=w_{n+1}+3=(2w_n+3)+3=2w_n+6=2(w_n+3)=2\,t_n\). Donc \((t_n)\) est géométrique de raison \(2\), de premier terme \(t_0=w_0+3=4\).

Ainsi \(t_n=4\times2^n=2^{n+2}\), d'où \(w_n=t_n-3=2^{n+2}-3\). \(\blacksquare\)

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