1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 2

Généralités sur les fonctions

Une fonction, ce n'est pas seulement une formule : c'est une forme et un comportement. Ce chapitre vous donne tout le vocabulaire pour décrire ce comportement — ensemble de définition, parité, périodicité, monotonie, bornes, symétries — et surtout les outils pour le démontrer proprement, sans encore utiliser la dérivée (elle arrive plus tard dans l'année). Vous apprendrez à déterminer un domaine, à lire une courbe, à prouver qu'une fonction est croissante par le signe de f(b) − f(a), à reconnaître une fonction majorée, minorée ou bornée, à comparer deux fonctions par le signe de leur différence, et à composer deux fonctions. Les fonctions de référence, le second degré et la fonction homographique complètent la boîte à outils que vous réutiliserez dans l'étude des fonctions, les limites et la dérivabilité.

1 · Résumé du cours

Une fonction ne se résume pas à sa formule : elle a une forme, un comportement. Ce chapitre installe le vocabulaire qui décrit ce comportement — parité, monotonie, bornes, symétries — et les outils qui permettent de le démontrer, sans encore recourir à la dérivée.

1.1 Fonction numérique et ensemble de définition

Définition — fonction numérique Une fonction numérique \(f\) définie sur un ensemble \(D\subset\mathbb{R}\) associe à chaque réel \(x\in D\) un unique réel noté \(f(x)\) : \[f:D\longrightarrow\mathbb{R},\qquad x\longmapsto f(x).\] Le nombre \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\). Si \(f(x)=y\), alors \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).

Image unique, antécédents éventuels Un nombre \(x\in D\) possède une seule image. En revanche, un réel \(y\) peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Chercher les antécédents de \(y\) revient à résoudre l'équation \(f(x)=y\) dans \(D_f\).

Définition — ensemble de définition L'ensemble de définition \(D_f\) est l'ensemble de tous les réels \(x\) pour lesquels l'expression \(f(x)\) a un sens.

Règles usuelles pour déterminer \(D_f\)

une fonction polynomiale est définie sur \(\mathbb{R}\) ;
une fraction \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) exige \(B(x)\neq0\) ;
une racine carrée \(\sqrt{A(x)}\) exige \(A(x)\ge0\) ;
une expression \(\dfrac1{\sqrt{A(x)}}\) exige \(A(x)>0\).

Lorsque plusieurs contraintes apparaissent, \(D_f\) est leur intersection.

Exemple. Pour \(f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}}{x-3}\), il faut simultanément \(2x-1\ge0\) et \(x-3\neq0\). Ainsi \(D_f=\left[\frac12,+\infty\right[\setminus\{3\}\).

Définition — égalité de deux fonctions Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales si elles ont le même ensemble de définition et si \(\forall x\in D_f,\ f(x)=g(x)\). Une même formule sur un domaine différent ne définit donc pas la même fonction.

Exemple. Les expressions \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) et \(x+1\) sont égales pour tout \(x\neq1\), mais les fonctions qu'elles définissent ne sont pas égales si la seconde est prise sur \(\mathbb{R}\) : leurs domaines diffèrent.

1.2 Représentation graphique et lectures

Dans un repère, la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de \(f\) est l'ensemble des points \(M\big(x,f(x)\big)\) avec \(x\in D_f\).

Traductions graphiques

\(f(a)=b\) signifie que le point \((a,b)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\) ;
les solutions de \(f(x)=k\) sont les abscisses des intersections de \(\mathcal{C}_f\) avec la droite horizontale \(y=k\) ;
les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des intersections de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) ;
\(f(x)\ge k\) lorsque \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(y=k\) ;
\(f(x)\ge g(x)\) lorsque \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).

Méthode — résoudre graphiquement

repérer la courbe ou tracer la droite de comparaison ;
lire les abscisses des points d'intersection pour une équation ;
lire les intervalles où une courbe est au-dessus / au-dessous pour une inéquation ;
donner des valeurs approchées si la lecture n'est pas exacte.

1.3 Parité et périodicité

Définition — parité Soit \(f\) définie sur \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (c.-à-d. \(x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f\)).

\(f\) est paire si \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)\) ;
\(f\) est impaire si \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)\).

Traduction graphique

\(f\) paire \(\iff\) \(\mathcal{C}_f\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\) ;
\(f\) impaire \(\iff\) \(\mathcal{C}_f\) est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

La parité permet de n'étudier \(f\) que sur \(D_f\cap[0,+\infty[\), puis de compléter par symétrie.

Méthode — étudier la parité

vérifier d'abord que \(D_f\) est symétrique (sinon \(f\) n'est ni paire ni impaire) ;
calculer \(f(-x)\) ;
comparer à \(f(x)\) (paire) et à \(-f(x)\) (impaire).

Exemple. \(f(x)=x^2+\cos x\) sur \(\mathbb{R}\) : \(f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos x=f(x)\). La fonction est paire.

Axe ou centre de symétrie quelconque Soit \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\).

la droite \(x=a\) est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) si le domaine est symétrique par rapport à \(a\) et si \(\forall h,\ f(a-h)=f(a+h)\) ;
le point \(I(a,b)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) si le domaine est symétrique par rapport à \(a\) et si \(\forall h,\ f(a-h)+f(a+h)=2b\).

La parité correspond au cas \(a=0\) ; pour une fonction impaire, le centre est \(O(0,0)\).

Exemple. Pour \(f(x)=(x-2)^2+1\), on a \(f(2-h)=h^2+1=f(2+h)\). La droite \(x=2\) est donc un axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\).

Définition — périodicité \(f\) est périodique de période \(T>0\) si, pour tout réel \(x\), \[x\in D_f\iff x+T\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(x+T)=f(x).\] Sa courbe est alors invariante par la translation de vecteur \(T\,\vec{\imath}\) : il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur \(T\).

Exemple. \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont périodiques de période \(2\pi\) ; \(x\mapsto\tan x\) est périodique de période \(\pi\).

1.4 Opérations sur les fonctions

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions et \(\lambda\in\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\) où les expressions ont un sens :

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (fg)(x)=f(x)g(x),\qquad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\qquad \left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.\]

Domaines des opérations \[D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g,\qquad D_{f/g}=\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\neq0\}.\] Multiplier une fonction par un réel ne change pas son domaine, sauf si la nouvelle écriture masque une restriction de la fonction initiale.

Exemple. Pour \(f(x)=\sqrt{x+1}\) et \(g(x)=x-2\), on a \(D_f=[-1,+\infty[\) et \(D_g=\mathbb{R}\). Donc \(D_{f+g}=[-1,+\infty[\) et \(D_{f/g}=[-1,+\infty[\setminus\{2\}\).

Déterminer le domaine avant de simplifier Une simplification algébrique ne réintroduit jamais une valeur interdite. Par exemple, \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\) seulement pour \(x\neq1\) : la restriction \(x\neq1\) doit être conservée.

1.5 Monotonie

Définition — sens de variation Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). \(f\) est, sur \(I\) :

croissante si \(\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)\) (elle conserve l'ordre) ;
décroissante si \(\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\ge f(b)\) (elle inverse l'ordre) ;
constante si \(f\) garde la même valeur sur \(I\).

On parle de monotonie stricte avec des inégalités strictes.

Définition — taux de variation Le taux de variation de \(f\) entre deux réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\) est \[\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Monotonie par le taux de variation Sur un intervalle \(I\) : \[f \text{ croissante} \iff \tau\ge0 \text{ pour tous } a\neq b,\qquad f \text{ décroissante} \iff \tau\le0.\] Pour une monotonie stricte, on remplace \(\ge0\) et \(\le0\) par \(>0\) et \(<0\).

Méthode — étudier la monotonie sans dérivée Pour deux réels \(asigne de la différence \(f(b)-f(a)\) (ou du taux \(\tau\)). Un signe constant \(\Rightarrow\) \(f\) est monotone.

Exemple. \(f(x)=x^2\) est croissante sur \([0,+\infty[\) : pour \(0\le a0\) car \(b-a>0\) et \(b+a>0\).

Parité et variations · translations verticales

si \(f\) est paire, les variations sur la partie négative sont inverses de celles observées sur la partie positive ;
si \(f\) est impaire, les variations sur les deux parties ont le même sens ;
\(k+f\) a le même sens de variation que \(f\) (translation verticale) ;
\(k\,f\) a le même sens que \(f\) si \(k>0\), le sens contraire si \(k<0\).

1.6 Fonction majorée, minorée, bornée

Définition Soit \(f\) définie sur \(D\). \(f\) est :

majorée sur \(D\) s'il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in D,\ f(x)\le M\) (\(M\) est un majorant) ;
minorée s'il existe \(m\in\mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in D,\ f(x)\ge m\) (\(m\) est un minorant) ;
bornée si elle est à la fois majorée et minorée : \(\exists m,M,\ \forall x\in D,\ m\le f(x)\le M\).

Graphiquement, une fonction bornée a sa courbe prise entre les droites \(y=m\) et \(y=M\).

Définition — extremums \(f\) admet un maximum global en \(x_0\in D\) si \(\forall x\in D,\ f(x)\le f(x_0)\) ; un minimum global si \(\forall x\in D,\ f(x)\ge f(x_0)\). La valeur extrême est alors atteinte. Un extremum local ne vérifie l'inégalité que pour les \(x\) suffisamment proches de \(x_0\), et n'est pas nécessairement l'extremum sur tout le domaine.

Une fonction monotone sur un segment est bornée Si \(f\) est monotone sur \([a,b]\), alors pour \(x\in[a,b]\) : \[f\text{ croissante}\Rightarrow f(a)\le f(x)\le f(b),\qquad f\text{ décroissante}\Rightarrow f(b)\le f(x)\le f(a).\]

Majorant atteint ou non \(M\) majore \(f\) sans forcément être une valeur de \(f\). Pour \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\), on a \(f(x)<1\) pour tout \(x\) : \(1\) est un majorant, mais jamais atteint — ce n'est donc pas un maximum.

1.7 Comparaison de deux fonctions

Définition Soient \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble \(D\). On dit que \(f\le g\) sur \(D\) si \(\forall x\in D,\ f(x)\le g(x)\).

Position relative des courbes Le signe de la différence \(f-g\) situe les courbes l'une par rapport à l'autre :

\(f(x)-g(x)>0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
\(f(x)-g(x)<0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessous ;
\(f(x)-g(x)=0\) : les courbes se coupent.

Comparer \(f\) et \(g\), c'est donc étudier le signe de \(f(x)-g(x)\) (factorisation, tableau de signes).

1.8 Image d'un intervalle

Définition L'image d'un intervalle \(I\) par \(f\), notée \(f(I)\), est l'ensemble des valeurs \(f(x)\) obtenues lorsque \(x\) parcourt \(I\) : \(f(I)=\{f(x)\mid x\in I\}\).

Encadrement par monotonie Si \(f\) est monotone sur \([a,b]\), alors : \[f\text{ croissante}\Rightarrow f([a,b])\subset[f(a),f(b)],\qquad f\text{ décroissante}\Rightarrow f([a,b])\subset[f(b),f(a)].\] Les bornes sont atteintes en \(a\) et \(b\).

Encadrement ≠ image exacte La monotonie suffit pour encadrer \(f(x)\) entre les valeurs aux extrémités, mais elle ne prouve pas à elle seule que toutes les valeurs intermédiaires sont prises : cela sera garanti plus tard par la continuité.

1.9 Fonctions de référence

Les fonctions usuelles servent de modèles. Leurs domaines, variations et symétries doivent être connus.

Fonctions usuelles — domaine et variations

\(x\mapsto ax+b\) sur \(\mathbb{R}\) : croissante si \(a>0\), décroissante si \(a<0\), constante si \(a=0\) ;
\(x\mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\) : paire ; décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\) ; minimum \(0\) ;
\(x\mapsto x^3\) sur \(\mathbb{R}\) : impaire et strictement croissante ;
\(x\mapsto\dfrac1x\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) : impaire ; strictement décroissante sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\) ;
\(x\mapsto\sqrt x\) sur \([0,+\infty[\) : strictement croissante ; minimum \(0\) ;
\(x\mapsto|x|\) sur \(\mathbb{R}\) : paire ; décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\) ; minimum \(0\).

Fonction du second degré Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\). En posant \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\), on obtient la forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). La courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha,\beta)\) et d'axe \(x=\alpha\) :

si \(a>0\) : décroissante sur \(]-\infty,\alpha]\), croissante sur \([\alpha,+\infty[\) ; minimum \(\beta\) ;
si \(a<0\) : croissante sur \(]-\infty,\alpha]\), décroissante sur \([\alpha,+\infty[\) ; maximum \(\beta\).

Exemple. \(f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\) : sommet \(S(2,1)\), axe \(x=2\), minimum \(1\) sur \(\mathbb{R}\).

Fonction homographique Soit \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\neq0\). Alors \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\) et \(f(x)=\dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}\). Si \(ad-bc\neq0\), la courbe a le centre de symétrie \(I\left(-\dfrac dc,\dfrac ac\right)\), et sur chacun des deux intervalles du domaine \(f\) est strictement croissante si \(ad-bc>0\), strictement décroissante si \(ad-bc<0\).

Homographique sans dérivée Pour \(x\neq y\) dans le même intervalle : \(\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}\). Les deux facteurs du dénominateur ont le même signe ; le signe du taux est donc celui de \(ad-bc\).

1.10 Composée de deux fonctions

Définition Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions. La composée \(v\circ u\) (« \(v\) rond \(u\) ») est \((v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big)\), pour les \(x\) tels que \(u(x)\) existe et appartient à \(D_v\). Son domaine est \[D_{v\circ u}=\{x\in D_u\mid u(x)\in D_v\}.\]

Exemple. Pour \(u(x)=3x+4\) et \(v(t)=\dfrac1{t+1}\) (\(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)), il faut \(u(x)\neq-1\), soit \(x\neq-\dfrac53\). Ainsi \(D_{v\circ u}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac53\right\}\) et \((v\circ u)(x)=\dfrac1{3x+5}\).

On applique \(u\) d'abord Dans \(v\circ u\), c'est \(u\) qui agit en premier (elle est « à l'intérieur »), puis \(v\). L'ordre compte : en général \(v\circ u\neq u\circ v\).

Monotonie d'une composée Sur des intervalles où tout est défini :

\(u\) et \(v\) de même sens \(\Rightarrow\) \(v\circ u\) croissante ;
\(u\) et \(v\) de sens contraires \(\Rightarrow\) \(v\circ u\) décroissante.

(« Règle des signes » : \(+\times+=+\), \(-\times-=+\), \(+\times-=-\).)

Exemple. \(h(x)=\sqrt{-x+3}\) sur \(]-\infty,3]\) : c'est \(v\circ u\) avec \(u(x)=-x+3\) (décroissante) et \(v(t)=\sqrt t\) (croissante). Sens contraires \(\Rightarrow\) \(h\) décroissante.

1.11 Transformations de courbes

Lire une courbe associée sans nouveau calcul À partir de \(\mathcal{C}_f\), la courbe \(\mathcal{C}_g\) se déduit par :

\(g(x)=f(x)+k\) : translation verticale de vecteur \(k\,\vec{\jmath}\) ;
\(g(x)=f(x-a)\) : translation horizontale de vecteur \(a\,\vec{\imath}\) ;
\(g(x)=-f(x)\) : symétrie par rapport à l'axe \((Ox)\) ;
\(g(x)=f(-x)\) : symétrie par rapport à l'axe \((Oy)\) ;
\(g(x)=|f(x)|\) : la partie sous \((Ox)\) est rabattue au-dessus ;
\(g(x)=f(|x|)\) : la partie pour \(x\ge0\) est reproduite par symétrie par rapport à \((Oy)\).

L'essentiel du chapitre

Domaine : traiter toutes les contraintes avant de simplifier ; une image est unique, un réel peut avoir plusieurs antécédents.
Lecture graphique : intersections pour les équations, positions relatives pour les inéquations.
Parité : \(D_f\) symétrique, puis \(f(-x)=f(x)\) (paire, axe \(Oy\)) ou \(-f(x)\) (impaire, centre \(O\)).
Monotonie sans dérivée : signe de \(f(b)-f(a)\) pour \(a
Bornée = majorée et minorée ; un majorant n'est pas toujours un maximum.
Comparer \(f\) et \(g\) = étudier le signe de \(f-g\).
Connaître les fonctions de référence, le second degré et l'homographique.
Composée \(v\circ u\) : \(u\) agit d'abord ; monotonie par la « règle des signes ».
Transformations : \(f+k\), \(f(x-a)\), \(-f\), \(f(-x)\), \(|f|\), \(f(|x|)\) se lisent sur \(\mathcal{C}_f\).

2 · Exercices résolus

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

\(D_f=\mathbb{R}\) est symétrique. On calcule \[f(-x)=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}=-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}=-f(x).\] \(f\) est donc impaire : sa courbe est symétrique par rapport à \(O\). \(\blacksquare\)

Monotonie

Exercice 2

Montrer que \(f(x)=\dfrac1x\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\).

Voir la correction

Soient \(00\), on a \(f(b)-f(a)<0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\). \(\blacksquare\)

Fonction bornée

Exercice 3

Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\). Montrer que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), avec \(-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12\).

Voir la correction

Comme \(x^2+1>0\), on multiplie chaque inégalité par \(x^2+1\) sans changer de sens, et tout se ramène à un carré parfait.

Majoration : \(f(x)\le\dfrac12\iff 2x\le x^2+1\iff 0\le x^2-2x+1=(x-1)^2\), toujours vrai. Donc \(f(x)\le\dfrac12\).

Minoration : \(f(x)\ge-\dfrac12\iff 2x\ge-(x^2+1)\iff x^2+2x+1\ge0\iff (x+1)^2\ge0\), toujours vrai. Donc \(f(x)\ge-\dfrac12\).

Finalement \(-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12\) : \(f\) est bornée (les bornes sont même atteintes, en \(x=1\) et \(x=-1\)). \(\blacksquare\)

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