1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 1

Notions de logique

Premier chapitre de l'année en Sciences Expérimentales, la logique donne les règles pour écrire un raisonnement clair et sans faille. Ce cours vous apprend à distinguer une proposition d'un prédicat, à combiner des énoncés avec « et », « ou », « si… alors… », puis à les nier correctement grâce aux lois de De Morgan et à la règle d'échange des quantificateurs « pour tout » et « il existe ». Vous y découvrirez surtout les grandes méthodes de démonstration — raisonnement direct, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde, par contre-exemple et par récurrence — que vous réutiliserez dans absolument tous les chapitres suivants. Bien maîtriser ce vocabulaire dès le début de l'année, c'est rédiger proprement toute l'année.

1 · Résumé du cours

La logique permet de rédiger un raisonnement sans ambiguïté. Elle précise le sens des mots « et », « ou », « si… alors… », « pour tout » et « il existe ». On apprend ici à reconnaître une proposition, à la nier correctement, et à choisir une méthode de démonstration adaptée.

1.1 Propositions et fonctions propositionnelles

Définition — proposition Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une seule valeur de vérité : vrai (V) ou faux (F).

Exemples. « \(2+3=5\) » est vraie ; « \(7\) est pair » est fausse ; « \(x>1\) » n'est pas une proposition tant que \(x\) n'est pas fixé ; une question ou un ordre n'est pas une proposition.

Définition — prédicat Une fonction propositionnelle (ou prédicat) est un énoncé \(P(x)\) qui dépend d'une variable \(x\) d'un ensemble \(E\). Pour chaque valeur fixée de \(x\), \(P(x)\) devient une proposition.

Exemple. Dans \(E=\mathbb{R}\), soit \(P(x):\) « \(x^2-1=0\) ». Alors \(P(1)\) est vraie, \(P(2)\) est fausse, et l'ensemble des \(x\) qui rendent \(P(x)\) vraie est \(\{-1,\,1\}\).

Reconnaître une proposition Le test : peut-on répondre immédiatement et sans ambiguïté par « vrai » ou « faux » ? Un énoncé à variable libre n'est pas une proposition tant que cette variable n'est ni fixée ni quantifiée.

1.2 Connecteurs logiques

À partir de deux propositions \(P\) et \(Q\), on construit de nouvelles propositions à l'aide de connecteurs logiques, décrits par leur table de vérité.

1.2.1 Négation, conjonction et disjonction

Définition

la négation de \(P\), notée \(\overline P\) (ou \(\neg P\)), est vraie exactement lorsque \(P\) est fausse ;
la conjonction \(P\wedge Q\) (« \(P\) et \(Q\) ») est vraie uniquement quand \(P\) et \(Q\) sont vraies toutes les deux ;
la disjonction \(P\vee Q\) (« \(P\) ou \(Q\) ») est fausse uniquement quand \(P\) et \(Q\) sont fausses toutes les deux.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & \overline P & P\wedge Q & P\vee Q\\ \hline V & V & F & V & V\\ \hline V & F & F & F & V\\ \hline F & V & V & F & V\\ \hline F & F & V & F & F\\ \hline\end{array}\]

Le « ou » mathématique est inclusif \(P\vee Q\) reste vraie quand \(P\) et \(Q\) le sont ensemble. Ainsi « \(x\le2\) ou \(x\ge0\) » est vraie pour tout réel \(x\).

1.2.2 L'implication

Définition L'implication \(P\Rightarrow Q\) (« si \(P\), alors \(Q\) ») est fausse dans un seul cas : lorsque \(P\) est vraie et \(Q\) fausse. Elle est vraie dans tous les autres cas. \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline P & Q & P\Rightarrow Q\\ \hline V & V & V\\ \hline V & F & F\\ \hline F & V & V\\ \hline F & F & V\\ \hline\end{array}\]

Vocabulaire de l'implication Pour \(P\Rightarrow Q\) :

\(P\) est une condition suffisante pour \(Q\) ;
\(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\) ;
\(Q\Rightarrow P\) est la réciproque ;
\(\overline Q\Rightarrow\overline P\) est la contraposée.

Exemple. « \(x=2\Rightarrow x^2=4\) » est vraie. Sa réciproque « \(x^2=4\Rightarrow x=2\) » est fausse dans \(\mathbb{R}\) (\(x=-2\) est un contre-exemple), mais sa contraposée « \(x^2\neq4\Rightarrow x\neq2\) » est vraie.

Ne pas confondre réciproque et contraposée Une implication est toujours équivalente à sa contraposée \(\overline Q\Rightarrow\overline P\), mais elle n'est pas nécessairement équivalente à sa réciproque \(Q\Rightarrow P\).

1.2.3 L'équivalence

Définition L'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) (« \(P\) si et seulement si \(Q\) ») signifie que \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité. Elle équivaut à \((P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)\). \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline P & Q & P\Leftrightarrow Q\\ \hline V & V & V\\ \hline V & F & F\\ \hline F & V & F\\ \hline F & F & V\\ \hline\end{array}\]

Exemple. Pour tout réel \(x\) : \(x^2=9\iff x=3\ \text{ou}\ x=-3\). Le sens direct donne les deux valeurs possibles ; le sens réciproque vérifie que chacune a bien pour carré \(9\).

Prouver une équivalence = prouver DEUX implications Pour établir \(P\Leftrightarrow Q\), on rédige séparément le sens direct \(P\Rightarrow Q\), puis le sens réciproque \(Q\Rightarrow P\). Oublier un sens est l'erreur classique.

1.3 Lois logiques usuelles

Définition — tautologie Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions simples qui la composent.

Les lois à connaître Pour toutes propositions \(P,Q,R\) : \[\overline{\overline P}\Leftrightarrow P,\qquad P\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P,\qquad P\vee Q\Leftrightarrow Q\vee P\quad(\text{commutativité}),\] \[P\wedge(Q\vee R)\Leftrightarrow(P\wedge Q)\vee(P\wedge R),\qquad P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow(P\vee Q)\wedge(P\vee R)\quad(\text{distributivité}),\] \[\overline{P\wedge Q}\Leftrightarrow\overline P\vee\overline Q,\qquad \overline{P\vee Q}\Leftrightarrow\overline P\wedge\overline Q\quad(\textbf{De Morgan}),\] \[(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q),\qquad \overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\wedge\overline Q),\qquad (P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P).\]

Exemple. La négation de « \(x\ge0\) et \(x\le1\) » est « \(x<0\) ou \(x>1\) » : \(\overline{(x\ge0)\wedge(x\le1)}\Leftrightarrow(x<0)\vee(x>1)\).

Méthode — vérifier une loi Pour vérifier qu'une équivalence logique est toujours vraie, on construit une table de vérité : les deux expressions comparées doivent avoir des colonnes identiques pour toutes les valeurs de \(P\), \(Q\) et, s'il y a lieu, \(R\).

1.4 Les quantificateurs

1.4.1 Quantificateur universel et quantificateur existentiel

Définition Soit \(P(x)\) un prédicat défini sur un ensemble \(E\).

\(\forall x\in E,\ P(x)\) se lit « pour tout \(x\) de \(E\), \(P(x)\) est vraie » ;
\(\exists x\in E,\ P(x)\) se lit « il existe au moins un \(x\) de \(E\) tel que \(P(x)\) » ;
\(\exists!\,x\in E,\ P(x)\) signifie qu'il existe un \(x\) unique vérifiant \(P(x)\).

Exemples. \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge0\) (V) ; \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2\) (V) ; \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2=2\) (F) ; \(\exists!\,x\in\mathbb{R},\ x+3=5\) (V, seul \(x=2\)).

L'ordre des quantificateurs compte \(\forall\) et \(\exists\) ne commutent pas. Comparez, pour \(x,y\in\mathbb{R}\) : \[\underbrace{\forall x,\ \exists y,\ y>x}_{\text{V : }y=x+1\text{ convient}}\qquad\text{et}\qquad\underbrace{\exists y,\ \forall x,\ y>x}_{\text{F : aucun }y\text{ ne dépasse tout }x}.\] Dans le premier, \(y\) peut dépendre de \(x\) ; dans le second, le même \(y\) devrait dépasser tous les \(x\). Lisez toujours de gauche à droite.

1.4.2 Négation d'une proposition quantifiée

Règle Nier une proposition quantifiée, c'est échanger \(\forall\) et \(\exists\), puis nier le prédicat : \[\overline{\big(\forall x\in E,\ P(x)\big)}\Leftrightarrow\exists x\in E,\ \overline{P(x)}\] \[\overline{\big(\exists x\in E,\ P(x)\big)}\Leftrightarrow\forall x\in E,\ \overline{P(x)}\]

Exemple. La négation de \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ x+y=0\) est \(\exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ x+y\neq0\) : on inverse chaque quantificateur de gauche à droite, puis on nie la relation finale.

1.5 Les méthodes de raisonnement

Démontrer une proposition, c'est établir qu'elle est vraie à partir des hypothèses, des définitions et des propriétés connues. Voici les méthodes fondamentales.

1.5.1 Raisonnement direct

Méthode Pour démontrer \(P\Rightarrow Q\) directement, on suppose \(P\) vraie, puis on enchaîne des déductions justifiées jusqu'à \(Q\).

Exemple. La somme de deux rationnels est rationnelle : si \(a=\frac pq\) et \(b=\frac rs\) avec \(p,r\in\mathbb{Z}\), \(q,s\in\mathbb{N}^*\), alors \(a+b=\frac{ps+rq}{qs}\in\mathbb{Q}\).

1.5.2 Disjonction des cas

Méthode On partage l'étude en plusieurs cas qui recouvrent toutes les possibilités, puis on prouve le résultat dans chacun d'eux.

Exemple. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n(n+1)\) est pair : si \(n\) est pair, le produit contient le facteur pair \(n\) ; si \(n\) est impair, \(n+1\) est pair. Dans les deux cas, \(n(n+1)\) est pair.

1.5.3 Raisonnement par contraposée

Méthode Pour démontrer \(P\Rightarrow Q\), on peut démontrer l'implication équivalente \(\overline Q\Rightarrow\overline P\). On y gagne quand \(\overline Q\) est plus maniable que \(P\).

Exemple. « si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair » : par contraposée, si \(n=2k+1\) est impair, alors \(n^2=2(2k^2+2k)+1\) est impair.

1.5.4 Raisonnement par l'absurde

Méthode Pour démontrer \(P\), on suppose \(P\) fausse et l'on en déduit une contradiction : l'hypothèse était intenable, donc \(P\) est vraie.

Exemple — \(\sqrt2\) est irrationnel. Si \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible, alors \(p^2=2q^2\), donc \(p\) est pair (\(p=2k\)) ; puis \(q^2=2k^2\) donc \(q\) est pair : \(p\) et \(q\) tous deux pairs contredit « \(\frac pq\) irréductible ». Donc \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).

1.5.5 Raisonnement par contre-exemple

Méthode Pour montrer qu'une proposition « \(\forall x\in E,\ P(x)\) » est fausse, il suffit d'exhiber un seul \(x_0\in E\) tel que \(P(x_0)\) soit fausse : c'est un contre-exemple.

Exemple. « pour tout réel \(x\), \(x<2\Rightarrow x^2<4\) » est fausse : \(x=-3\) vérifie \(x<2\) mais \(x^2=9\not<4\).

1.5.6 Équivalences successives

Méthode Pour résoudre une équation ou établir une équivalence, on enchaîne des transformations réversibles. Le symbole \(\Leftrightarrow\) n'est employé que si chaque étape conserve exactement le même ensemble de solutions.

Exemple. Dans \(\mathbb{R}\) : \(2x-1=5\iff 2x=6\iff x=3\). Toutes les étapes sont réversibles : \(S=\{3\}\).

1.5.7 Raisonnement par récurrence

Principe de récurrence Soit \(P(n)\) une propriété définie pour tout entier \(n\ge n_0\). Si

(Initialisation) \(P(n_0)\) est vraie ;
(Hérédité) pour tout \(n\ge n_0\), \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\),

alors \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).

Rédiger une récurrence

Propriété : énoncer clairement \(P(n)\) ;
Initialisation : vérifier \(P(n_0)\) ;
Hérédité : fixer \(n\ge n_0\), supposer \(P(n)\) vraie, puis démontrer \(P(n+1)\) ;
Conclusion : appliquer le principe de récurrence.

Exemple : \(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\). Init. \(n=1\) : \(1=\frac{1\cdot2}2\). Hérédité : \(\frac{n(n+1)}2+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2\).

Les deux étapes sont indispensables L'initialisation fournit le premier rang vrai ; l'hérédité fait passer d'un rang au suivant. Une récurrence est incomplète — et ne prouve rien — si l'une des deux étapes manque.

L'essentiel du chapitre

Une proposition a une valeur de vérité ; un prédicat dépend d'une variable.
\(P\Rightarrow Q\) équivaut à sa contraposée \(\overline Q\Rightarrow\overline P\), pas à sa réciproque.
Pour nier : on applique De Morgan et on échange \(\forall\leftrightarrow\exists\).
Prouver une équivalence = démontrer les deux implications.
Raisonnements clés : direct, disjonction des cas, contraposée, absurde, contre-exemple, équivalences successives, récurrence.

2 · Exercices résolus

Négation · quantificateurs

Exercice 1

Écrire la négation de : a) \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+1>0\) ; b) \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=x\) ; c) \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ x+y=0\).

Voir la correction

On échange les quantificateurs et on nie le prédicat. a) \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+1\le0\). b) \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\neq x\). c) \(\exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ x+y\neq0\).

Contraposée

Exercice 2

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que « si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair ».

Voir la correction

Par contraposée, montrons « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ». Si \(n=2k\), alors \(n^2=4k^2=2(2k^2)\) est pair. La contraposée est vraie, donc l'implication initiale aussi. \(\blacksquare\)

Récurrence

Exercice 3

Démontrer que \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\ 1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\).

Voir la correction

Initialisation (\(n=1\)) : à gauche \(1\), à droite \(\frac{1\cdot2\cdot3}6=1\). ✓

Hérédité : en supposant la formule au rang \(n\), \[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\frac{(n+1)\bigl[n(2n+1)+6(n+1)\bigr]}6\\&=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}6=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6,\end{aligned}\] qui est la formule au rang \(n+1\).

Conclusion : vraie pour tout \(n\ge1\). \(\blacksquare\)

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